La Serie Armónica

En el coloquio del profesor Mark. B Villarino se trato un tema conocido por muchos matemáticos y estudiantes de matemática más no abarcado a fondo, o no tanto como podría, él nos hablo de la serie armónica y muchas de sus curiosidades y misterios.

\sum \frac{1}{n}, la suma de los recíprocos de todos los números naturales. Esta obtiene su nombre por una terminología de los músicos que llaman armónicos los tonos que suenan por tomar la mitad, un tercio, un cuarto… etc. de la longitud de honda del tono original.
En la mayoría de los casos es la primer serie que ven todos los estudiantes de matemática cuando llegan a ver series infinitas ya que es el ejemplo inmejorable de que la condición de que dada una serie \sum a_n si su termino general (i.e. a_n) tiende a 0 no necesariamente esta converge, como podría tal vez indicarnos nuestra intuición. Esto por que mientras que es fácil ver que \frac{1}{n} \to 0 cuando n \to \infty esta serie diverge, el primero que demostró esto fue el matemático francés Nicolás Oresme quien vivió en los años 1323 – 1382 él notó que que si agrupamos los términos de esta serie de la siguiente manera:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} ....

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) +(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}) + (....

o sea en grupos desde \frac{1}{2^k +1} hasta \frac{1}{2^{k+1}} para todo k. Y cambiamos todos los términos por el menor del grupo se obtiene:

1 + \frac{k}{2} < \sum_{n=1}^{2^{k}} \frac{1}{n}

Por lo que al tomar limite cuando k va a infinito vemos que la serie harmónica diverge.
Para muchos estudiantes este es el único encuentro importante que van a tener con esta tan interesante serie lo que parecería indicar que esta no es tan importante. Sin embargo esta serie no es tan humilde como muchos podrían pensar. Esta serie tiene contacto con muchas ramas de la matemática como la teoría de números, la combinatoria y hasta cierto punto con la arquitectura y la mecánica cuántica.

Por ejemplo, si se hace la pregunta arquitectónica de, ¿Que es lo mas largo que se puede llegar dadas N placas u objetos igual poniendo uno sobre el otro de la siguiente manera?

Untitled

La respuesta podría sorprender a mas de uno, ya que resulta que para que estos se logren balancear uno encima del otro sin tumbarse y maximizando su extensión la manera de lograrlo es que tras apilar N placas, la siguiente este \frac{1}{n+1} mas salida que la anterior, o sea:

Untitled

Por lo que dadas N placas la extensión de la estructura será \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} así que de esta manera y por el hecho de que esta serie diverge como acabamos de ver esta estructura se podrá extender tanto como se quiera, simplemente, se necesitan suficientes placas.

Bueno pero tal vez antes de analizar algunas mas de estas aplicaciones de la serie armónica hay muchas propiedades interesantes que de esta como su velocidad de divergencia, para ver una primera idea de lo lento que diverge esta serie basta con verlo que en el año 1968 un matemático de apellido Wrench descubrió y es que el número de términos que ocupa esta serie para ser mayor que 100 es alrededor de

15099688699113788323693563964538101449859497

para entender un poco mejor la velocidad de convergencia se puede usar un criterio muy conocido, el criterio de la integral:

1x
\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} \hspace{1mm}< \hspace{1mm}\int_{1}^{n} \frac{1}{x}dx \hspace{1mm}< \hspace{1mm} 1 + ... + \frac{1}{n-2}

Esto también lo podemos escribir de la siguiente manera definiendo H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} tenemos:

H_n -1 < \ln (n)< H_{n} - \frac{1}{n}
\Rightarrow \frac{1}{n} < H_n - \ln(n) < 1
\Rightarrow H_n = \ln(n) + \gamma_n; \hspace{1cm} \frac{1}{n}<\gamma_n<1

Lo que nos da claramente una idea de lo lento que diverge la serie armónica con su aproximación por logaritmo. También este análisis sugiere analizar el valor de \gamma_n y en efecto esto fue lo que hizo Euler y el limite de esta diferencias es lo que hoy se conoce como la constante de Euler-Mascheroni y se representa solo con la letra \gamma.Esta aparece en otras áreas de la matemática como por ejemplo en algunas Transformadas de Laplace como:

f(t) = \ln(t) cuya transformada de Laplace es \mathcal{L} = -\frac{1}{s}[\ln(s)+\gamma].

Ahora, volviendo a la serie armónica ya vimos lo lento que diverge esta por lo que surge la pregunta, ¿Qué pasa con las subseries de esta? la idea de que converja a un ritmo tan lento haría pensar que tal vez toda subserie por ser aun mas lenta convergería y mientras que esto es verdad para algunas subseries como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \to \frac{\pi^2}{6} no lo es cierto para todas y tal vez una de las mas interesantes es \sum_{p\hspace{1mm}primo} \frac{1}{p} la cual Euler demostró que al igual que la serie armónica diverge y lo demostró de entre tantas formas con una cota inferior de las sumas parciales, y que de la misma forma que para la armónica nos indica que tan lento puede diverger una subserie de esta, la cota es la siguiente:

\sum_{\substack {p\hspace{1mm}primo \\ p\leq n}} \frac{1}{p} \hspace{1mm} \geq \hspace{1mm} \ln(\ln(n+1))-\ln(\frac{\pi^2}{6})

Por lo que la idea de que por que convergiera tan lento no nos dice que sus subseries tengan que converger ya que con ritmos aun mas desacelerados estas aun son capaces de diverger. Pero mas que una decepción la divergencia de esta serie no es mas que inspiradora ya que da una prueba mas de la cantidad de números primos ya que si estos fueran finitos esta seria una suma finita y tendría que converger. Por lo que conseguimos una aplicación inesperada de la serie armónica en la teoría de números.
Un matemático que también notó esto fue el noruego Viggo Brun quien al ver la divergencia de esta serie de los recíprocos de los primos tuvo la idea de analizar la serie

\sum_{\substack {p\hspace{1mm}primo \\ p+2 \hspace{1mm}primo}} \frac{1}{p}

Ya que si esta divergiera de la misma manera que la prueba de Euler de la infinidad de los primos, tendrían que haber infinitos primos gemelos, lastimosamente esta serie Brun logro demostrar que era convergente dejando la pregunta de la infinidad de los primos gemelos abierta por al menos 100 años mas, hasta el día de hoy.

Con todo esto ya vemos como la inocencia de esta serie no es tanta como se podría pensar al verla simplemente como un ejemplo 10 minutos en una clase y aun así esta serie tiene aun mas que ofrecernos, esta serie aparece en ramas nuevas de la matemática como lo es el análisis de algoritmos.
Dada una lista de números desordenados se desea hallar el máximo, bueno una forma de hacer esto es llamada Quick Sort en el cual se procede de la siguiente forma dada una lista:

(a_1,a_2,...,a_n) \hspace{1cm}

Se define una caja \max = [a_1] luego se compara el valor de \max con cada a_i si algún a_k>\max se re-define el valor de \max = [a_k] y se repite el proceso hasta que el valor de \max no cambie tras compararse con todos los a_i, ¿Cuál será la cantidad promedio de veces que se cambia el valor de \max?
Esta pregunta de la rama de análisis tiene una respuesta inesperada con aparición estelar. Ya que si definimos T_n como el numero promedio de cambios para hallar el máximo en una de n números la respuesta es:

T_n =(2n+1) H_{n+1}-3n-2

Donde H_n no es mas que la n-esima suma parcial de la serie armónica. Esta serie tan humilde cuya primer prueba se realizo alrededor de hace 600 años pero sigue apareciendo en resultados de los últimos 60 años, demostrando que tal vez no es tan sencilla como pensaríamos.

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