Laplaciano, Funciones Armónicas Discretas y analogías con el caso continuo

Introducción

La siguiente entrada es parte de el coloquio impartido por Daniel Campos en la Universidad de Costa Rica. Se dará una definición del laplaciano seguido de una introducción a funciones armónicas continuas y las propiedades que tambien se cumplen en el caso discreto. Luego se establecerá el problema de Dirichlet en un dominio finito y se probará la existencia y unicidad de sus soluciones.

Laplaciano y Funciones Armónicas

Definición 1 Vamos a definir el operador diferencial denominado laplaciano como

\triangle := \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{\partial ^2}{\partial x_k ^2}

Cualquier otro operador diferencial invariante bajo traslaciones y rotaciones es generado por el laplaciano.

Definición 2 Una función es armónica si satisface la ecuación

\triangle f = 0

Se probarán algunas propiedades para el caso continuo que tambien se cumplen para el caso discreto.

Propiedad de la media para funciones armónicas. Sea \Omega un abierto de \mathbb{C} y u \in A(\Omega). Si a \in \mathbb{C} y r \in \mathbb{R}^+ verifican que \bar{D}(a,r) \subset \Omega se tiene:

u(a) = \dfrac{1}{s\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} Re f(a + re^{it}) dt

Demostración Tomamos R \in \mathbb{R}^+ con \bar{D}(a,r) \subset D(a,R) \subset \Omega. Ahora usamos que, en el dominio estrellado D(a,R) la función armónica u ha de coincidir con la parte real de una función f \in H(D(a,R)) Basta entonces aplicar que f verifica f(a) = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(a+re^{it})dt e igualar las partes reales de ambos miembros:

u(a) = Re f(a) = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} Re f(a+re^{it})dt = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} u(a + re^{it}) dt

Para el caso discreto \triangle f = 0 implica inmediatamente la propiedad, es decir:

f(n) = \dfrac{1}{2d} \sum_{|m-n|=1}^{}f(m)

La siguiente propiedad es el principio de extremo para funciones armónicas. Su prueba utiliza el hecho que este principio se cumple para funciones subarmónicas y además utiliza el principio de identidad, entonces probaremos estos primero y posteriormente probaremos el principio para funciones armónicas.

Principio de extremo para funciones subarmónicas Sea \Omega un dominio y \varphi : \Omega \rightarrow \mathbb{R} una función subarmónica. Supongamos que \varphi alcanza un máximo absoluto en un punto a \in \Omega, es decir,

f(z) \leq f(a) \, \forall z \in \Omega

Entonces \varphi es constante

Demostración Consideremos el conjunto A = \big \{ z \in \Omega : \varphi (z) = \varphi (a) \big \}. Como \varphi es continua, A es subconjunto cerrado (relativo) de \Omega y obviamente A \neq 0, luego por ser \Omega conexo, bastará probar que A es abierto, pues entonces A = \Omega y \varphi es constante.

Dado \alpha \in A, tomamos R \in \mathbb{R}^+ tal que D (\alpha,R) \subset \Omega. Fijado r \in ]0, R[, por definición de función subarmónica tenemos:

\dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (a) - \varphi(\alpha + re^{it})dt = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (\alpha) - \varphi(\alpha + re^{it})dt = \varphi(\alpha) - \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (\alpha) - \varphi(\alpha + re^{it})dt \leq 0

En la primera integral, la función integrando es continua en [-\pi, \pi] y no toma valores negativos ya que \varphi(a) es el máximo valor de \varphi. Por tanto, la desigualdad anterior no deja más salida que \varphi(\alpha + re^{it}) = \varphi (a) para todo t \in [-\pi,\pi]. Pero esto es válido para todo r \in ]0,R[, luego tenemos \varphi(z) = \varphi(a) para todo z \in D(\alpha,R) es decir D(\alpha,R) \subset A. Puesto que \alpha \in A era arbitrario, hemos probado que A es abierto, como queríamos.

Principio de identidad para funciones armónicas Sea \Omega un dominio y u,v \in A(\Omega). Si u y v coinciden en un subconjunto de \Omega que tenga interior no vacío, entonces u=v

Demostración Consideremos el interior del conjunto donde u y v coinciden:

A = \big \{ z \in \Omega : u(z) = v(z) \big \}

Obviamente A es abierto y, por hipótesis A \neq 0, luego bastará ver que A es un subconjunto cerrado (relativo) de \Omega. Ello se deducirá fácilmente de la siguiente implicación

a \in A, R \in \mathbb{R}^+ , D(a,R) \subset \Omega \Rightarrow D(a,R)\subset A

Nótese que, como A es abierto, existe r \in \mathbb{R}^+ tal que D(a,r)\subset A pero en principio no sabemos si podemos tomar r=R, así que trabajamos con r<R. En el dominio estrellado D(a,R), las funciones armónicas v coinciden con las partes reales de sendas funciones holomorfas y g. Entonces, la restricción de f-g al dominio D(a,r) es holomorfa, y su parte real es idénticamente nula, luego f y g coinciden en D(a,r). Puesto que obviamente D(a,r) tiene puntos de acumulación en D(a,R), el principio de identidad para funciones holomorfas nos dice que f y g coinciden en D(a,R), luego lo mismo les ocurre a u y v. como D(a,R) es abierto, conlucimos que D(a,R) \subset A, como queríamos.

Sea ahora z \in \bar{A} \cap \Omega y tomemos R \in \mathbb{R}^+ tal que D(a,2R) \subset \Omega. Existe entonces a \in A tal que |z-a| < R, con lo que D(a,R) \subset D(z,2R) \subset \Omega Usando la implicación de arriba, deducimos que D(a,R) \subset A y, en particular, z \in A. Esto prueba que A es un subconjunto cerrado de \Omega, lo que concluye la demostración.

Principio de extremo para funciones armónicas Sea \Omega un dominio y u \in A(\Omega). Si u tiene un extremo relativo en un punto de \Omega, entonces u es constante.

Demostración Basta considerar el caso de que u tenga un máximo relativo, es decir, que existan a \in \Omega y \delta > 0 tales que D(a,\delta) \subset \Omega y u(z) \leq u(a) para todo z \in D(a,\delta). Entonces la restricción de u a D(a,\delta) es subarmónica y tiene un máximo absoluto en a, luego es constante. Como D(a, \delta) tiene interior no vacío, al principio de identidad para funciones armónicas nos dice que u es constante.

La igualdad

f(n) = \dfrac{1}{2d} \sum_{|m-n|=1}^{}f(m)

nos implicaba este principio del extremo para funciones armónicas discretas: una función armónica f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R} no puede alcanzar máximos o mínimos locales a menos que sea constante.

Estas funciones armónicas nos interesan porque, por ejemplo sirven para determinar la probabilidad de que una partícula esacape por cierta “ventana”.

Definición Si \Omega es un dominio en \mathbb{Z}^d definimos su frontera \partial \Omega como

\partial \Omega := \big \{ m \in \mathbb{Z}^d \backslash \Omega: |m-n|=1 para algún n \in \Omega \big \}

Definición Si \Omega es un dominio en \mathbb{Z}^d definimos su clausura \bar{\Omega} \subseteq \mathbb{Z}^d como

\bar{\Omega} := \Omega \cup \partial \Omega

El Problema de Dirichlet en Dominios Acotados

Dada una función f \in \partial \Omega, lo que queremos es encontrar una extensión armónica u a \Omega ; es decir, encontrar una función u \in \bar{\Omega} tal que

\begin{cases} -\triangle u = 0 & \text {en } \Omega \\ u = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

Ahora llevemos el problema de Dirichlet a dominios acotados. Vea que si el dominio es \Omega \subseteq \mathbb{Z}^d, entonces el problema tiene \Omega ecuaciones con |\Omega| cantidad de variables y esto lo convierte en un sistema cuadrado. Esto significa que probar su unicidad tambien prueba su existencia. Para probar unicidad, veamos lo siguiente:

\begin{cases} \triangle u = 0  & \text {en } \Omega \\ u = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

y además

\begin{cases} \triangle v = 0 & \text {en } \Omega \\ v = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

ahora

\begin{cases} -\triangle (u-v) = 0 & \text {en } \Omega \\ u - v= 0 & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

entonces si tomamos a w como la diferencia entreu y v, como el máximo debe ocurrir en la frontera en un dominio acotado tenemos

\begin{cases} max \, w \leq 0 \\ min \, w \geq 0 \end{cases}

y finalmente w \equiv 0

Hay que notar que el sistema tiene entradas racionales, por lo que su inversa, tiene entradas racionales tambien. Lo que significa esto es que la extensión armónica depende “racionalmente” de los valores de frontera. Por el principio del máximo, todas las entradas de la inversa son positivas.

 

 

 

 

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