Cuerpos de escisión de algunas curvas de género uno

Cuerpos de escisión de algunas curvas de género uno

La búsqueda de modelos que representen de mejor manera lo sucedido con frecuencias en la vida diaria, obligó a grandes pensadores a recurrir a expresiones algebraicas y simbólicas para dar respuestas a dichos eventos. Esto, no solo abre paso a la creación de herramientas numéricas que respalden lo acontecido sino a la formulación de supuestos que limiten o desglosen el problemas en casos específicos para facilitar su solución.

Con respecto a lo anterior, se puede apreciar una de las primeras ecuaciones respaldadas en papel, como lo es el papiro de Ahmes (papiro del matemático Rhind, se apróxima que fue escrito en siglo XIX a.C. en época de Amenemhat III) expresa lo sieguiente:

Un montón y un séptimo del mismo es igual a { 24 }

Usando la notación actual se puede escribir de la forma

{ x + \frac{1}{7} x = 24 }

Para la ecuación anterior, no es difícil ver su solución en { \mathbb{Q}}, tomando en cuenta las herramientas lógicas y matemáticas que tenemos en esta época.

Por otro lado,  si consideramos el conjunto de los números racionales como dominio de nuestra solución (para cualquier otra ecuación), podemos tener elementos que no pertenezcan a { \mathbb{Q} }.  Para esto, considere la siguiente curva

            { C : y^2 = 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875 }

Se puede corroborar fácilmente que { C( \mathbb{Q} ) = \emptyset }, es decir, esta curva no tiene solución sobre {\mathbb{Q} }. Esto nos lleva a cuestionarnos

¿Cuáles extesiones de { \mathbb{Q} } nos permiten tener puntos de esta curva?

Para tratar de dar respuesta a lo anterior, se darán una serie de definiciones, teoremas y ejemplos

Definición:

    • { \odot } Sea {C_{/ K}} una curva definida sobre un cuerpo { K }. Decimos que una extensión { L/K } es un cuerpo de escisión de { C }, si { C(L) \neq \emptyset }.
    • { \odot } Una curva plana de grado { n } (definida por un polinomio homogéneo { \mathbb{P}= 0} de grado   { n })  el género de la curva es  {g}  de la forma

{ \displaystyle g = \frac{(n-1)(n-2) - d}{2} }

donde  { d }  es el número de puntos singulares simples  (con múltiplo 2)

    • { \odot } Si { C } es una curva de género uno, el índice de { C } es el menor grado de un cuerpo de escisión de { C }.

Luego, usando las definiciones establecidas, vemos los siguentes ejemplos (sobre { \mathbb{Q} } )

{ \begin{array}{rrl}  C_2 &:& 2y^2 = x^4 - 17z^4 \\ [0.5cm]  C_3 &:& 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0\\ [0.5cm]  C_4 & : & \begin{cases} 3x^2 = -11y^2 - t^2 \\ -33z^2 = -11y^2 + t^2 \end{cases}  \end{array} }

Se puede notar que las curvas { C_2 , C_3 , C_4 } son curvas de índice { 2 , 3 \text{ y } 4 } respectivamente, al observar estas curvas una de las pregunta que podemos formular es:

¿Existen curvas de índice { 5 } sobre { \mathbb{Q} }?

La respuesta, es sí. Esto es consecuencia de los teoremas de

  • Teorema (Clark, 2006) Existen infinitas curvas de género uno de cualquier índice sobre cualquier cuerpo de números.
  • Teorema (Clark, 2006) Existen infinitas curvas de género uno de cualquier índice sobre cualquier cuerpo de números.

Además, podemos demostrar por el Teorema de Riemann-Roch, que una curva de género { 1 } e índice { 2 } sobre un cuerpo { K } está dado por una ecuación de la forma:

\displaystyle C : y^2 + (mx^2 + nxz + lz^2)y = ax^4 + bx^3z + cx^2z^2 + dxz^3 + ez^4

para algunos { m, l, n, a, b, c, d, e \in K } tales que { C(K) = \emptyset }

 Uno de los casos que se puede analizar es

¿cuáles son los cuerpos de escisión cuadráticos de { C } ?

Veamos que, esta pregunta esta ligada fuertemente al cuerpo { K } de trabajo, considere lo siguiente

  • Para los casos que { K = \mathbb{R} } o { K = \mathbb{C} } es relativamente fácil llegar a lo solicitado.

Uno de los casos más complejos de analizar es cuando { K = \mathbb{Q} }. Pero, si nos restringimos a trabajar cuando { K = \mathbb{Q}_p } se sabe que si { p \neq 2 , \ \mathbb{Q} _p } tiene solamente 3 soluciones cuadráticas, las cuales son:

{ \mathbb{Q}_p \sqrt{u}, \mathbb{Q}_p \sqrt{p}  \text{ y } \mathbb{Q}_p \left( \sqrt{up} \right) }

donde { u \in \mathbb{Z} } es cualquier entero que cumple que { (p, u) = 1 } no residuo cuádratico de módulo p.

Seguidamente, veremos un teorema que nos ayudaran a relacionar las curvas de género uno y de índice { 2 } sobre { \mathbb{Q}_p (p \neq 2 ) } con las ideas de reducción y cuerpos escisión de { C }

Teorema (Lang y Tate, 1958)

Sea { C } una curva de género uno e índice { 2 } sobre { Q_p (p \neq 2) }  tal que { E = Jac(C) }  tiene reducción { I_0 }. Entonces { L=Q_p } es un cuerpo de escisión de { C } si y solo si { L } es una extensión ramificada.

Neron_Kodaira
Figura 1: Clasificación de Nerón – Kodaira

De esta manera, podemos relacionar los ejemplos siguientes con un tipo de reducción de la Figura 1.

Ejemplo 1

{ \begin{array}{rcl}  C : y^2 & = & 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875 \\  & = & 28 \cdot (5)^1  \cdot x^4 + 49 \cdot (5)^2 \cdot x^3 + 7 \cdot (5)^2 \cdot x^2 + 49 \cdot (5)^3 \cdot x + 7 \cdot (5)^3 \end{array}  }

es crítica sobre { \mathbb{Q} _5 }, y por lo tanto {\mathbb{C} (\mathbb{Q}_5) = \emptyset }

Por otro lado, podemos ver la reducción de esta curva y su clasificación

\displaystyle 7^2 \equiv 4 \cdot 28 \cdot 7(mod \ 5) \text{ y } -2 \cdot 7 \equiv 1^2(mod \ 5)

por lo que Jac({C}) tiene reducción split {I_1}, (ver Figura 1). Además, con esta reducción se puede concluir que {C} posee un único cuerpo cuadrático de escisión: { \mathbb{Q} _5 \left( \sqrt{7 \cdot 5 } \right) }

Ejemplo 2

Consideremos la curva

\displaystyle \begin{array}{rcl} C : y^2 & = & 51x^4 + 17x^3 - 578x^2 - 14739x + 24565 \\ & = & 3 \cdot (17)^1  \cdot x^4 + 1 \cdot (17)^1 \cdot x^3 -2 \cdot (17)^2 \cdot x^2 -3 \cdot (17)^3 \cdot x + 5 \cdot (17)^3, \end{array}

tiene reducción {II^*} sobre { \mathbb{Q}_{17} }, y por lo tanto,  posee un punto sobre { \mathbb{Q}_{17} }.

Ejemplo 3

{ \displaystyle \begin{array}{rcl} C : y^2 & = & 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875\\ & = & 20 \cdot (7)^1  \cdot x^4 + 25 \cdot (7)^2 \cdot x^3 + 25 \cdot (7)^1 \cdot x^2 + 125 \cdot (7)^2 \cdot x + 125 \cdot (7)^1, \end{array}  }

tiene { C(\mathbb{Q}_7) = \emptyset} y Jac({ C }) tiene reducción { I^{*}_0 }, por lo que las tres extensiones cuadráticas de { \mathbb{Q}_7 } escinden a { C }.

Dados los ejemplos anteriores, podemos darnos una pequeña noción de la relación que existe con la reducción de una curva elíptica con la extensión, confuguración y su clasificación referente a la Figura 1.

En resumen, hemos recurrido a fundamentos lógicos en bases matemáticas para tratar de dar orden, estructura y explicación a los fenómenos que suceden a nuestro entorno. Podemos plasmar ideas o problemas con una sola ecuación, como el Papiro de Ahmes 0 pero, al no quedar satisfecho con una solución sobre un cuerpo { K } dado, recurrimos a especificar y a limitar el conjunto de donde tomaré mi solución, si es que existe. Es decir, la búsqueda de soluciones de una ecuacuón tiene estrecha relación con el cuerpo { K } que se desea trabajar.

Para los resultados planteados nos restringimos a trabajar cuando { K = \mathbb{Q}_p } se sabe que, si { p \neq 2 , \ \mathbb{Q} _p }  nos limita a {3} soluciones ya mencionadas. Al trabajar con { K = \mathbb{Q}_p }, nos permitió conectar la idea de reducción de una curva de género 1 e índice 2 con una extesión ramificada (Teorema Lang y Tate) para luego, aplicarlo en los ejemplos dados.

Referencias

Dantzig, G.B. y P. Wolfe, Decomposition principle for linear programs, Operations Research, 8, páginas. 101–111, 1960.

Ivorra C. Carlos. Superficies Aritméticas con aplicaciones a la teoría de curvas elípticas. Capítulos VIII – IX, páginas 230-271

Rodriguéz, F y Sachéz, C. Introducción a curvas alípticas, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, [Disponible en línea] http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/tesis.pdf

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