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Cuerpos de escisión de algunas curvas de género uno

Cuerpos de escisión de algunas curvas de género uno

La búsqueda de modelos que representen de mejor manera lo sucedido con frecuencias en la vida diaria, obligó a grandes pensadores a recurrir a expresiones algebraicas y simbólicas para dar respuestas a dichos eventos. Esto, no solo abre paso a la creación de herramientas numéricas que respalden lo acontecido sino a la formulación de supuestos que limiten o desglosen el problemas en casos específicos para facilitar su solución.

Con respecto a lo anterior, se puede apreciar una de las primeras ecuaciones respaldadas en papel, como lo es el papiro de Ahmes (papiro del matemático Rhind, se apróxima que fue escrito en siglo XIX a.C. en época de Amenemhat III) expresa lo sieguiente:

Un montón y un séptimo del mismo es igual a { 24 }

Usando la notación actual se puede escribir de la forma

{ x + \frac{1}{7} x = 24 }

Para la ecuación anterior, no es difícil ver su solución en { \mathbb{Q}}, tomando en cuenta las herramientas lógicas y matemáticas que tenemos en esta época.

Por otro lado,  si consideramos el conjunto de los números racionales como dominio de nuestra solución (para cualquier otra ecuación), podemos tener elementos que no pertenezcan a { \mathbb{Q} }.  Para esto, considere la siguiente curva

            { C : y^2 = 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875 }

Se puede corroborar fácilmente que { C( \mathbb{Q} ) = \emptyset }, es decir, esta curva no tiene solución sobre {\mathbb{Q} }. Esto nos lleva a cuestionarnos

¿Cuáles extesiones de { \mathbb{Q} } nos permiten tener puntos de esta curva?

Para tratar de dar respuesta a lo anterior, se darán una serie de definiciones, teoremas y ejemplos

Definición:

    • { \odot } Sea {C_{/ K}} una curva definida sobre un cuerpo { K }. Decimos que una extensión { L/K } es un cuerpo de escisión de { C }, si { C(L) \neq \emptyset }.
    • { \odot } Una curva plana de grado { n } (definida por un polinomio homogéneo { \mathbb{P}= 0} de grado   { n })  el género de la curva es  {g}  de la forma

{ \displaystyle g = \frac{(n-1)(n-2) - d}{2} }

donde  { d }  es el número de puntos singulares simples  (con múltiplo 2)

    • { \odot } Si { C } es una curva de género uno, el índice de { C } es el menor grado de un cuerpo de escisión de { C }.

Luego, usando las definiciones establecidas, vemos los siguentes ejemplos (sobre { \mathbb{Q} } )

{ \begin{array}{rrl}  C_2 &:& 2y^2 = x^4 - 17z^4 \\ [0.5cm]  C_3 &:& 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0\\ [0.5cm]  C_4 & : & \begin{cases} 3x^2 = -11y^2 - t^2 \\ -33z^2 = -11y^2 + t^2 \end{cases}  \end{array} }

Se puede notar que las curvas { C_2 , C_3 , C_4 } son curvas de índice { 2 , 3 \text{ y } 4 } respectivamente, al observar estas curvas una de las pregunta que podemos formular es:

¿Existen curvas de índice { 5 } sobre { \mathbb{Q} }?

La respuesta, es sí. Esto es consecuencia de los teoremas de

  • Teorema (Clark, 2006) Existen infinitas curvas de género uno de cualquier índice sobre cualquier cuerpo de números.
  • Teorema (Clark, 2006) Existen infinitas curvas de género uno de cualquier índice sobre cualquier cuerpo de números.

Además, podemos demostrar por el Teorema de Riemann-Roch, que una curva de género { 1 } e índice { 2 } sobre un cuerpo { K } está dado por una ecuación de la forma:

\displaystyle C : y^2 + (mx^2 + nxz + lz^2)y = ax^4 + bx^3z + cx^2z^2 + dxz^3 + ez^4

para algunos { m, l, n, a, b, c, d, e \in K } tales que { C(K) = \emptyset }

 Uno de los casos que se puede analizar es

¿cuáles son los cuerpos de escisión cuadráticos de { C } ?

Veamos que, esta pregunta esta ligada fuertemente al cuerpo { K } de trabajo, considere lo siguiente

  • Para los casos que { K = \mathbb{R} } o { K = \mathbb{C} } es relativamente fácil llegar a lo solicitado.

Uno de los casos más complejos de analizar es cuando { K = \mathbb{Q} }. Pero, si nos restringimos a trabajar cuando { K = \mathbb{Q}_p } se sabe que si { p \neq 2 , \ \mathbb{Q} _p } tiene solamente 3 soluciones cuadráticas, las cuales son:

{ \mathbb{Q}_p \sqrt{u}, \mathbb{Q}_p \sqrt{p}  \text{ y } \mathbb{Q}_p \left( \sqrt{up} \right) }

donde { u \in \mathbb{Z} } es cualquier entero que cumple que { (p, u) = 1 } no residuo cuádratico de módulo p.

Seguidamente, veremos un teorema que nos ayudaran a relacionar las curvas de género uno y de índice { 2 } sobre { \mathbb{Q}_p (p \neq 2 ) } con las ideas de reducción y cuerpos escisión de { C }

Teorema (Lang y Tate, 1958)

Sea { C } una curva de género uno e índice { 2 } sobre { Q_p (p \neq 2) }  tal que { E = Jac(C) }  tiene reducción { I_0 }. Entonces { L=Q_p } es un cuerpo de escisión de { C } si y solo si { L } es una extensión ramificada.

Neron_Kodaira
Figura 1: Clasificación de Nerón – Kodaira

De esta manera, podemos relacionar los ejemplos siguientes con un tipo de reducción de la Figura 1.

Ejemplo 1

{ \begin{array}{rcl}  C : y^2 & = & 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875 \\  & = & 28 \cdot (5)^1  \cdot x^4 + 49 \cdot (5)^2 \cdot x^3 + 7 \cdot (5)^2 \cdot x^2 + 49 \cdot (5)^3 \cdot x + 7 \cdot (5)^3 \end{array}  }

es crítica sobre { \mathbb{Q} _5 }, y por lo tanto {\mathbb{C} (\mathbb{Q}_5) = \emptyset }

Por otro lado, podemos ver la reducción de esta curva y su clasificación

\displaystyle 7^2 \equiv 4 \cdot 28 \cdot 7(mod \ 5) \text{ y } -2 \cdot 7 \equiv 1^2(mod \ 5)

por lo que Jac({C}) tiene reducción split {I_1}, (ver Figura 1). Además, con esta reducción se puede concluir que {C} posee un único cuerpo cuadrático de escisión: { \mathbb{Q} _5 \left( \sqrt{7 \cdot 5 } \right) }

Ejemplo 2

Consideremos la curva

\displaystyle \begin{array}{rcl} C : y^2 & = & 51x^4 + 17x^3 - 578x^2 - 14739x + 24565 \\ & = & 3 \cdot (17)^1  \cdot x^4 + 1 \cdot (17)^1 \cdot x^3 -2 \cdot (17)^2 \cdot x^2 -3 \cdot (17)^3 \cdot x + 5 \cdot (17)^3, \end{array}

tiene reducción {II^*} sobre { \mathbb{Q}_{17} }, y por lo tanto,  posee un punto sobre { \mathbb{Q}_{17} }.

Ejemplo 3

{ \displaystyle \begin{array}{rcl} C : y^2 & = & 140x^4 + 1225x^3 + 175x^2 + 6125x + 875\\ & = & 20 \cdot (7)^1  \cdot x^4 + 25 \cdot (7)^2 \cdot x^3 + 25 \cdot (7)^1 \cdot x^2 + 125 \cdot (7)^2 \cdot x + 125 \cdot (7)^1, \end{array}  }

tiene { C(\mathbb{Q}_7) = \emptyset} y Jac({ C }) tiene reducción { I^{*}_0 }, por lo que las tres extensiones cuadráticas de { \mathbb{Q}_7 } escinden a { C }.

Dados los ejemplos anteriores, podemos darnos una pequeña noción de la relación que existe con la reducción de una curva elíptica con la extensión, confuguración y su clasificación referente a la Figura 1.

En resumen, hemos recurrido a fundamentos lógicos en bases matemáticas para tratar de dar orden, estructura y explicación a los fenómenos que suceden a nuestro entorno. Podemos plasmar ideas o problemas con una sola ecuación, como el Papiro de Ahmes 0 pero, al no quedar satisfecho con una solución sobre un cuerpo { K } dado, recurrimos a especificar y a limitar el conjunto de donde tomaré mi solución, si es que existe. Es decir, la búsqueda de soluciones de una ecuacuón tiene estrecha relación con el cuerpo { K } que se desea trabajar.

Para los resultados planteados nos restringimos a trabajar cuando { K = \mathbb{Q}_p } se sabe que, si { p \neq 2 , \ \mathbb{Q} _p }  nos limita a {3} soluciones ya mencionadas. Al trabajar con { K = \mathbb{Q}_p }, nos permitió conectar la idea de reducción de una curva de género 1 e índice 2 con una extesión ramificada (Teorema Lang y Tate) para luego, aplicarlo en los ejemplos dados.

Referencias

Dantzig, G.B. y P. Wolfe, Decomposition principle for linear programs, Operations Research, 8, páginas. 101–111, 1960.

Ivorra C. Carlos. Superficies Aritméticas con aplicaciones a la teoría de curvas elípticas. Capítulos VIII – IX, páginas 230-271

Rodriguéz, F y Sachéz, C. Introducción a curvas alípticas, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, [Disponible en línea] http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/tesis.pdf

Laplaciano, Funciones Armónicas Discretas y analogías con el caso continuo

Introducción

La siguiente entrada es parte de el coloquio impartido por Daniel Campos en la Universidad de Costa Rica. Se dará una definición del laplaciano seguido de una introducción a funciones armónicas continuas y las propiedades que tambien se cumplen en el caso discreto. Luego se establecerá el problema de Dirichlet en un dominio finito y se probará la existencia y unicidad de sus soluciones.

Laplaciano y Funciones Armónicas

Definición 1 Vamos a definir el operador diferencial denominado laplaciano como

\triangle := \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{\partial ^2}{\partial x_k ^2}

Cualquier otro operador diferencial invariante bajo traslaciones y rotaciones es generado por el laplaciano.

Definición 2 Una función es armónica si satisface la ecuación

\triangle f = 0

Se probarán algunas propiedades para el caso continuo que tambien se cumplen para el caso discreto.

Propiedad de la media para funciones armónicas. Sea \Omega un abierto de \mathbb{C} y u \in A(\Omega). Si a \in \mathbb{C} y r \in \mathbb{R}^+ verifican que \bar{D}(a,r) \subset \Omega se tiene:

u(a) = \dfrac{1}{s\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} Re f(a + re^{it}) dt

Demostración Tomamos R \in \mathbb{R}^+ con \bar{D}(a,r) \subset D(a,R) \subset \Omega. Ahora usamos que, en el dominio estrellado D(a,R) la función armónica u ha de coincidir con la parte real de una función f \in H(D(a,R)) Basta entonces aplicar que f verifica f(a) = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(a+re^{it})dt e igualar las partes reales de ambos miembros:

u(a) = Re f(a) = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} Re f(a+re^{it})dt = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} u(a + re^{it}) dt

Para el caso discreto \triangle f = 0 implica inmediatamente la propiedad, es decir:

f(n) = \dfrac{1}{2d} \sum_{|m-n|=1}^{}f(m)

La siguiente propiedad es el principio de extremo para funciones armónicas. Su prueba utiliza el hecho que este principio se cumple para funciones subarmónicas y además utiliza el principio de identidad, entonces probaremos estos primero y posteriormente probaremos el principio para funciones armónicas.

Principio de extremo para funciones subarmónicas Sea \Omega un dominio y \varphi : \Omega \rightarrow \mathbb{R} una función subarmónica. Supongamos que \varphi alcanza un máximo absoluto en un punto a \in \Omega, es decir,

f(z) \leq f(a) \, \forall z \in \Omega

Entonces \varphi es constante

Demostración Consideremos el conjunto A = \big \{ z \in \Omega : \varphi (z) = \varphi (a) \big \}. Como \varphi es continua, A es subconjunto cerrado (relativo) de \Omega y obviamente A \neq 0, luego por ser \Omega conexo, bastará probar que A es abierto, pues entonces A = \Omega y \varphi es constante.

Dado \alpha \in A, tomamos R \in \mathbb{R}^+ tal que D (\alpha,R) \subset \Omega. Fijado r \in ]0, R[, por definición de función subarmónica tenemos:

\dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (a) - \varphi(\alpha + re^{it})dt = \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (\alpha) - \varphi(\alpha + re^{it})dt = \varphi(\alpha) - \dfrac{1}{2\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} (\varphi (\alpha) - \varphi(\alpha + re^{it})dt \leq 0

En la primera integral, la función integrando es continua en [-\pi, \pi] y no toma valores negativos ya que \varphi(a) es el máximo valor de \varphi. Por tanto, la desigualdad anterior no deja más salida que \varphi(\alpha + re^{it}) = \varphi (a) para todo t \in [-\pi,\pi]. Pero esto es válido para todo r \in ]0,R[, luego tenemos \varphi(z) = \varphi(a) para todo z \in D(\alpha,R) es decir D(\alpha,R) \subset A. Puesto que \alpha \in A era arbitrario, hemos probado que A es abierto, como queríamos.

Principio de identidad para funciones armónicas Sea \Omega un dominio y u,v \in A(\Omega). Si u y v coinciden en un subconjunto de \Omega que tenga interior no vacío, entonces u=v

Demostración Consideremos el interior del conjunto donde u y v coinciden:

A = \big \{ z \in \Omega : u(z) = v(z) \big \}

Obviamente A es abierto y, por hipótesis A \neq 0, luego bastará ver que A es un subconjunto cerrado (relativo) de \Omega. Ello se deducirá fácilmente de la siguiente implicación

a \in A, R \in \mathbb{R}^+ , D(a,R) \subset \Omega \Rightarrow D(a,R)\subset A

Nótese que, como A es abierto, existe r \in \mathbb{R}^+ tal que D(a,r)\subset A pero en principio no sabemos si podemos tomar r=R, así que trabajamos con r<R. En el dominio estrellado D(a,R), las funciones armónicas v coinciden con las partes reales de sendas funciones holomorfas y g. Entonces, la restricción de f-g al dominio D(a,r) es holomorfa, y su parte real es idénticamente nula, luego f y g coinciden en D(a,r). Puesto que obviamente D(a,r) tiene puntos de acumulación en D(a,R), el principio de identidad para funciones holomorfas nos dice que f y g coinciden en D(a,R), luego lo mismo les ocurre a u y v. como D(a,R) es abierto, conlucimos que D(a,R) \subset A, como queríamos.

Sea ahora z \in \bar{A} \cap \Omega y tomemos R \in \mathbb{R}^+ tal que D(a,2R) \subset \Omega. Existe entonces a \in A tal que |z-a| < R, con lo que D(a,R) \subset D(z,2R) \subset \Omega Usando la implicación de arriba, deducimos que D(a,R) \subset A y, en particular, z \in A. Esto prueba que A es un subconjunto cerrado de \Omega, lo que concluye la demostración.

Principio de extremo para funciones armónicas Sea \Omega un dominio y u \in A(\Omega). Si u tiene un extremo relativo en un punto de \Omega, entonces u es constante.

Demostración Basta considerar el caso de que u tenga un máximo relativo, es decir, que existan a \in \Omega y \delta > 0 tales que D(a,\delta) \subset \Omega y u(z) \leq u(a) para todo z \in D(a,\delta). Entonces la restricción de u a D(a,\delta) es subarmónica y tiene un máximo absoluto en a, luego es constante. Como D(a, \delta) tiene interior no vacío, al principio de identidad para funciones armónicas nos dice que u es constante.

La igualdad

f(n) = \dfrac{1}{2d} \sum_{|m-n|=1}^{}f(m)

nos implicaba este principio del extremo para funciones armónicas discretas: una función armónica f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R} no puede alcanzar máximos o mínimos locales a menos que sea constante.

Estas funciones armónicas nos interesan porque, por ejemplo sirven para determinar la probabilidad de que una partícula esacape por cierta “ventana”.

Definición Si \Omega es un dominio en \mathbb{Z}^d definimos su frontera \partial \Omega como

\partial \Omega := \big \{ m \in \mathbb{Z}^d \backslash \Omega: |m-n|=1 para algún n \in \Omega \big \}

Definición Si \Omega es un dominio en \mathbb{Z}^d definimos su clausura \bar{\Omega} \subseteq \mathbb{Z}^d como

\bar{\Omega} := \Omega \cup \partial \Omega

El Problema de Dirichlet en Dominios Acotados

Dada una función f \in \partial \Omega, lo que queremos es encontrar una extensión armónica u a \Omega ; es decir, encontrar una función u \in \bar{\Omega} tal que

\begin{cases} -\triangle u = 0 & \text {en } \Omega \\ u = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

Ahora llevemos el problema de Dirichlet a dominios acotados. Vea que si el dominio es \Omega \subseteq \mathbb{Z}^d, entonces el problema tiene \Omega ecuaciones con |\Omega| cantidad de variables y esto lo convierte en un sistema cuadrado. Esto significa que probar su unicidad tambien prueba su existencia. Para probar unicidad, veamos lo siguiente:

\begin{cases} \triangle u = 0  & \text {en } \Omega \\ u = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

y además

\begin{cases} \triangle v = 0 & \text {en } \Omega \\ v = f & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

ahora

\begin{cases} -\triangle (u-v) = 0 & \text {en } \Omega \\ u - v= 0 & \text {sobre } \partial \Omega \end{cases}

entonces si tomamos a w como la diferencia entreu y v, como el máximo debe ocurrir en la frontera en un dominio acotado tenemos

\begin{cases} max \, w \leq 0 \\ min \, w \geq 0 \end{cases}

y finalmente w \equiv 0

Hay que notar que el sistema tiene entradas racionales, por lo que su inversa, tiene entradas racionales tambien. Lo que significa esto es que la extensión armónica depende “racionalmente” de los valores de frontera. Por el principio del máximo, todas las entradas de la inversa son positivas.

 

 

 

 

Velocidad de Propagación, Ondas Viajeras y Determinación Lineal para modelos de enfermedades transmitidas sexualmente

Coloquio del expositor Dr. Joaquín Rivera

En la segunda parte del coloquio del Dr. Joaquín Rivera, explicó un modelo de SIS para la propagación de las Enfermedades de Transmisión Sexual (ETS) entre los sujetos de orientación heterosexual. El modelo bajo consideración, consiste en un conjunto de ecuaciones de reacción-difusión para cada población heterosexualmente activa. La discusión se centró en predecir qué tan rápido se propaga la enfermedad a las regiones no infectadas y como se logró predecir la propagación de las enfermedades mediante el uso de técnicas de Determinación lineal, el siguiente escrito considera parcialmente la presentación del Dr. Joaquín Rivera.

1. Introducción.

El término de Enfermedades de Transmisión Sexual (ETS), se refiere a todas aquellas enfermedades que afectan a los animales que se transmiten como resultado del contacto sexual. Las ETS son muy comunes entre los animales y han sido ampliamente estudiado en humanos, tanto biológicamente como matemáticamente, debido a la gran importancia económica para nosotros. Por ejemplo, la clamidia ha reducido las poblaciones de koalas en algunas áreas de Australia de 60,000 a mediados de la década de 1990 a 10,000 en el 2012.

La mayoría de los modelos matemáticos solo consideran la dinámica temporal de las ETS en poblaciones heterosexuales. Hay dos factores que son importantes para dicho estudio: las interacciones dependientes y las tasas de dispersión; son críticos para entender el problema de transmisión y la presistencia de múltiples cepas de la enfermedad.

La movilidad se formula como un proceso de difusión aleatorio. Donde las tasas de recultamiento deberían depender de las densidades de las poblaciones locales (hombres y mujeres), los individuos comenzarán su vida sexual y reproductiva en función de: el número de parejas disponibles del sexo opuesto, la competencia con miembros de su propio género y la capacidad de carga del medio ambiente.

2. Modelo SIS

Se han desarrollado muchos modelos matemáticos para estudiar los efectos de
el movimiento migratorio y la heterogeneidad espacial en la transmisión de enfermedades; por lo que se utiliza el modelo SIS, sus siglas se refiere a: susceptibles-infectados-susceptibles, lo cual es un modelo de reacción-difusión para una población que vive en un hábitat espacial continuo, que incluye la posibilidad de infección espontánea, además de la transmisión de la enfermedad. Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que describen cómo una o más compartimientos poblacionales son distribuidos en el espacio, cambiando bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales en las que los individuos se transforman los unos en otros, y difusión, que provoca que las sustancias se expandan en el espacio. Este documento se refiere a un modelo de difusión-reacción epidémica SIS, que incluye la posibilidad de infección espontánea, además de la transmisión de la enfermedad.

Se define S^i(t) y I^i(t) para i = m (con m para los individuos masculinos), donde significa susceptibles e infecciosos entre hombres y mujeres, respectivamente:

\begin{cases} \frac{\partial S^i}{\partial t} = d^i\; \frac{\partial^2y}{\partial x^2} + \Lambda^i - B^i - \mu^i\;S^i + \gamma^i\;I^i\\ \\ \frac{\partial I^i}{\partial t} = d^i\;\frac{\partial^2\;I^i}{\partial\;x^2} + B^i - (\mu^i + \gamma^i)I^i \end{cases}

La función de densidad dependiente de reclutamiento, está dado por:

\Lambda^i = F(T^i)

Además la población total de hombres y mujeres está definida de la siguiente forma:

\begin{cases} T^{m} = S^{m} + I^{m}\;\textup{Poblaci\'on masculina}\\ T^{f} = S^{f} + I^{f}\;\textup{Poblaci\'on femenina} \end{cases}

La densidad de la tasa de transmisión de las ETS está dada por:

\begin{cases} B^m = r^m(T^m, T^f)\;\beta^f\;S^m\;\frac{I^f}{T^f}\\ \\ B^f = r^f(T^f, T^m)\;\beta^f\;S^f\;\frac{I^m}{T^m}\\ \end{cases}

Las variables denotadas por: r^i, es una tasa promedio de adquisición del patógeno y \beta^i es la tasa de transmisión de la ETS, con i = (m,f). Añadiendo las ecuaciones para hombres y mujeres se obtiene el siguiente sistema:

\begin{cases} \frac{\partial\;T^m}{\partial\;t} = d^m\;\frac{\partial^2\;T^m}{\partial\;x^2} + \Lambda^m - \mu^m\;T^m\\ \\ \frac{\partial\;T^f}{\partial t} = d^f\frac{\partial^2\;T^f}{\partial x^2} + \Lambda^f - \mu^f\;T^f\\ \end{cases}

Pero el sistema solo tiene dos puntos estables, biológicamente posibles:

\begin{cases} P_o = (0,0)\\ P_1 = \bigg( \frac{K^m\;(\alpha - \mu^m)}{\alpha}, \frac{K^f\;(\alpha-\mu^f)}{\alpha}\bigg) \end{cases}

 

Teorema 2.1:

Asuma que \alpha > \mu^k para k = m,f. Entonces, el sistema reducido solo tiene dos puntos estables, P_0 y P_1, donde P_0 es inestable y P_1 es un punto globalmente estable.

Al suponer que las poblaciones totales alcanzan el punto estacionario estable: P_1 , al establecer:

S^k = T^k - I^k

Con k = (f,m), entonces se tiene el siguiente sistema de limitación:

\begin{cases} \frac{\partial I^m}{\partial t} = d^m\; \frac{\partial^2\;I^m}{\partial x^2} + r_*^m\;\beta^m(T^m_* - I^m)\frac{I^f}{T_*^f} - (\mu^m + \gamma^m)\;I^m\\ \\ \frac{\partial I^f}{\partial t} = d^f\; \frac{\partial^2\;I^f}{\partial x^2} + r_*^f\;\beta^f(T^f_* - I^f)\frac{I^m}{T_*^m} - (\mu^f + \gamma^f)\;I^f \end{cases}

El nuevo sistema reescalado es:

\begin{cases} \frac{\partial I^m}{\partial t} = d^m\; \frac{\partial^2\;I^m}{\partial x^2} + \alpha^m\;(T^m_* - I^m)\;I^f - \sigma^m\;I^m\\ \frac{\partial I^f}{\partial t} = d^f\; \frac{\partial^2\;I^f}{\partial x^2} + \alpha^f\;(T^f_* - I^f)\;I^m - \sigma^f\;I^f \end{cases}

Además, se define: R_0 como el número básico reproductivo, es decir, el número promedio de infecciones secundarias por un caso infectado, cuanto riesgo causará en una población sin inmunidad, sin considerar ningún tipo de control sobre la infección:

R_0 = \frac{\alpha^m\;T^m_*\;\alpha^f\;T_*^f}{\sigma^m\;\sigma^f}

Teorema 2.2:

Si R_0 < 1, entonces el sistema tiene un único punto de equilibrio: E_0 = (0,0). Si R_0 > 1, entonces E_0 es inestable y hay un punto de equilibrio global positivo asintóticamente estable: E^*.

3. Velocidad de propagación y ondas viajeras

Una pregunta importante en el estudio de enfermedades infecciosas, al considerar la
dinámica espacial-temporal, es determinar cuál es la propagación de la enfermedad
a través del dominio. Matemáticamente, esto lleva al estudio de las soluciones de onda de desplazamiento para las ecuaciones de reacción-difusión, utilizando como herramienta la teoría de la Determinación Lineal.

Usando la teoría de la Determinación Lineal el sistema simplificado limitado es:

\begin{cases} \frac{\partial I^m}{\partial t} = d^m \frac{\partial^2I^m}{\partial x^2} + a^m(T^m_* - I^m) I^f - \sigma^m\;I^m\\ \frac{\partial I^f}{\partial t} = d^f \frac{\partial^2I^f}{\partial x^2} + a^f(T^f_* - I^f) I^m - \sigma^f\;I^f \end{cases}

La linearización sobre E_0:

\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = d^m \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \alpha^m\;T^m\;v - \sigma^m\;v\\ \frac{\partial v}{\partial t} = d^f\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \alpha^f\;T^f\;u - \sigma^f\;u \end{cases}

Se define la siguiente matriz, para poder aplicar la teoría de ondas:

C_\mu = diag(d^m\mu^2) + F'(0) = \begin{bmatrix} d^m\mu^2 - \sigma^m & a^m\;T^m\\ a^f\;T^f & d^{f\mu^2} - \sigma^f \end{bmatrix}

El valor propio principal, viene dado por: \lambda (\mu). La velocidad de propagación de los sistemas limitantes se define de la forma: c^* = inf_{\mu > 0} \frac{\lambda(\mu)}{\mu}. Usando uno de los teoremas importantes sobre la velocidad de propagación, se logra concluir que si el sistema tiene únicamente dos equilibrios, se puede caracterizar la velocidad de propagación c^* como la velocidad mínima de la clases de ondas viajeras que conectan E_0 a E_1.

Teorema 3.1:

Para todo c \geq c^* el sistema tiene una solución de onda progresiva, dada por:    (I^m(x - ct), I^f(x - ct)) tal que: (I(-\inf), I(-inf)) = E_1, y (I^m(+\inf), I^f(+\inf)) = (0,0).  Además, tal onda viajera no existe si c < c^*.

Como el sistema tiene únicamente dos equilibrios, se puede caracterizar la propagación de la velocidad c^*, como la velocidad mínima de una clase de ondas viajeras que conectan E_0 a E_1.

4. Modelo general de múltiples cepas

De forma similar al modelo de una sola tensión, podemos agregar las ecuaciones correspondientes a cada género para formar un sistema bidimensional en las variables demográficas T^m y T^f. Del estudio de las enfermedades infecciosas se sabe (principio de exclusión competitiva) que la cepa con mayor capacidad (mayor R_{0,i}) dominará la dinámica del sistema:

\begin{cases} \frac{\partial I^m_j}{\partial t} = d^m\; \frac{\partial^2\;I^m_j}{\partial x^2} + a^m\;(T^m_* - \sum_{j = 1}^{n} I^m_j)\;I^f_j - \sigma^m\;I^m_j\\ \frac{\partial I^f_j}{\partial t} = d^f\; \frac{\partial^2\;I^f_j}{\partial x^2} + a^f\;(T^f_* - \sum_{j = 1}^{n} I^f_j)\;I^m_j - \sigma^m\;I^f_j\\ \end{cases}

El sistema espacialmente homogéneo correspondiente es monótono, podemos determinar su estabilidad global. Del estudio de las enfermedades infecciosas se sabe que la cepa con una capacidad más fuerte $latex(R_{o, i})$ dominará la dinámica del sistema. Esto significa que E_1 es globalmente estable de forma asintótica para el sistema espacialmente homogéneo de ecuaciones diferenciales. El objetivo es calcular la velocidad de propagación de una súper cepa mientras hay una tensión múltiple en el equilibrio.

5. Conclusiones

Recientemente se descubrió que el papel de los dominios espaciales y la heterogeneidad tienen una gran influencia en la dinámica, persistencia o estimación de la especie, aquí se lograron mostrar los desafíos de modelar las ETS en dominios espaciales, con énfasis en las matemáticas  que en el contexto biológico.

Se logró mostrar que cuando el número reproductivo es mayor que 1, los machos y hembras infectados se diseminan a la misma velocidad de propagación, y que la velocidad de propagación puede caracterizarse a la velocidad más lenta de una clase de ondas viajeras.

Para los modelos de múltiples cepas y etapas, se demostró que existe una velocidad de dispersión única a la cual se extiende la cepa más fuerte y la cepa más débil se retira, y que la velocidad de propagación se puede caracterizar como la velocidad más lenta de una clase de ondas conectando dos equilibrios endémicos.

Modelando la propagación del Ébola con SEIR y Control Óptimo

El Ébola es un virus que causa una enfermedad altamente infecciosa que ha afectado a África Occidental, y que ha tenido un gran impacto en Liberia, Sierra Leona y Guinea en el 2014. Comprender el efecto y el contagio de esta enfermedad es vital para su contención y posible eliminación. El rápido esparcimiento de la enfermedad es consecuencia de la baja capacidad de planeamiento y estrategias de salud y contingencia en estos países. Dada dicha problemática el autor Harout Boujakjian, realiza el análisis pertinente utilizando la matemática para poder comprender, verificar y manipular esta situación social, mediante su investigación en el documento: Modeling the Spread of Ebola with SEIR and Optimal Control. [1]. El análisis conlleva a una amplia discusión sobre como se estudia su transmisión, cuáles son los métodos de contingencia, tomando en cuenta sus costos pero, primordialmente, cuáles son las herramientas matemáticas utilizadas para encontrar esas maneras óptimas de primera línea en el tratamiento de una enfermedad tan peligrosa como el Ébola.

1. Modelo SEIR

El modelo SEIR, cuyo nombre se deriva de: susceptible,  expuesto, infectado y recuperado. Es importante recalcar que la población total está conformada por estos cuatro tipos de comportamientos. Este modelo es clásico para el análisis de la dinámica de transmisión de enfermedades. El modelo es un sistema de ecuaciones no lineales con cuatro componentes y tres parámetros fundamentales: la tasa de transmisión \beta, la tasa de recuperación \mu y la tasa de incubación \sigma.  Donde los susceptibles se define como: las personas que pueden contraer la enfermedad sin inmunidad al agente infeccioso. La población expuesta, que se refiere aquellos que tienen la enfermedad y pueden trasmitirla sin necesidad de mostrar los síntomas respectivos, es decir, portan el agente infeccioso del Ébola. Los infectados son los que portan el Ébola y pueden transmitir el agente infeccioso. Mientras que los recuperados son aquellos individuos los cuales sobrevivieron al Ébola o no están en condiciones de enfermar otra vez ni de tansmitir la enfermedad. Las siguientes ecuaciones diferenciales muestran la dinámica de los compartimientos a través del tiempo:

\begin{cases} S' = -\beta\;I\;\frac{S}{N}\\ E' = \beta\;I\;\frac{S}{N} - \sigma\;E\\ I' = \sigma E\;-\gamma I \\ R' = \mu\;I \end{cases}

El modelo es interpretado de como la población susceptible decrece, cuando dado una cantidad de infectados pueden afectar al promedio de la población susceptible, dada la propoción de transmisión. El compartimiento de expuestos, este aumenta dado el factor -\beta\;I\;\frac{S}{N} porque alguno de los individuos susceptibles se van a contagiar del agente infeccioso, pero no todos van a presentar indicios de los padecimientos del Ébola.  Aquellos que perciban los síntomas del agente infeccioso van a transformarse a infectados, dada la tasa de incubación, por eso se descuenta de los expuestos. Y la dinámica del compartimiento de recuperados aumenta, de acuerdo a la cantidad de infectados que se sanan del agente infeccioso.

2. Controles del modelo SEIR

Como en el caso anterior se tendrían los cuatro componentes ya definidos (Suceptible-Expuesto-Infectado-Recuperado) pero, estos solo describen su esparcimiento. Entonces, se implementan dos técnicas que cumplan el objetivo de reducir la población infectada a cero en un tiempo dado. Uno de los controles es la vacunación v, definida como el proceso mediante el cual una persona recibe diferentes tipos de compuestos, para contribuir a la formación de anticuerpos que protegen al individuo de la invasión del virus del Ébola, este procedimiento consiste en una estrategia preventiva a la población susceptible y por ello aumenta la población recuperada. Y la otra, es la cuarentena q, consiste en el proceso de aislar a los infectados del Ébola durante un periodo de tiempo y así no se propague la enfermedad. Es evidente que la cuarentena transforma la población infectada a los recuperados conforme avanza el tiempo. Por lo que, el nuevo modelo SEIR con controles se define como:

Capture

En este modelo es importante destacar ciertas hipótesis como que no hay infectados antes de que aparezca la enfermedad y no existe tasa de natalidad.

3. Control Óptimo

El Control Óptimo es una herramienta matemática desarrollada al inicio de los años cincuentas con el fin de lograr optimización en sistemas dinámicos que dependen del tiempo. Considere un problema de Cauchy clásico en ecuaciones diferenciales.[2] Un control sería una curva \alpha que altera la dinámica de un sistema, lo que vendría representado por:

\begin{cases} x'(t) = g(x(t), \alpha(t))\;\;\;\;\;\;(t > 0)\\x(0) = x_0\\\end{cases}

En simples palabras, es un tipo de óptimización en ecuaciónes diferenciales que logran encontrar la función máxima o mínima de un sistema alterando su dinámica hacia un objetivo concreto, dado por un funcional determinado.

Así mismo, es importante, recalcar alguna de las terminologías de la Teoría del Control Óptimo, para la comprensión del mismo. La función del Control Óptimo, se encuentra mediante dos métodos, conocidos como: la ecuación de Euler-Lagrange, o el importante para la investigación la ecuación del Hamilton-Jacobi-Bellman. Esta última es conocida como el Hamiltoniano, tiene como objetivo resolver un problema de control óptimo finito dimensional, pero se necesita primero encontrar el sistema de estado y objetivo funcional.

El primero es el comportamiento dinámico y es descrito mediante las variables de estado en un sistema de estado. El control u es aquel que ingresa al sistema de ecuaciones diferenciales ordinario y afecta la dinámica del sistema de estado. El objetivo es ajustar el control para maximizar (o minimizar) el objetivo funcional. Este último se refiere a un mapa de un cierto conjunto de funciones a los números reales, se puede expresar como una integral. El objetivo funcional se define, como:[3]

\begin{cases}J(u) = \int_{t_0}^{t_1} f(t, x(t), u(t)) dt\\ \frac{d}{dt}x = g(t, x(t), u(t))\\ x(t_0) = x_0 \end{cases}

Por consiguiente el problema básico de Control Óptimo consiste en encontrar el control u(t) y la variable de estado asociada a x(t) la cual maximize el objetivo funcional, es decir:

\begin{cases}max_{u} J(u) = max_{u}\int_{t_0}^{t_1} f(t, x(t), u(t)) dt\\ \frac{d}{dt}x = g(t, x(t), u(t))\\ x(t_0) = x_0 \end{cases}

Por último, se debe adherir un nuevo término que es necesario para entender el Hamiltoniano, el cual es la: adjunta \lambda(t), cuya finalidad es añadir restricciones para poder maximizar o minimizar el objetivo funcional.

3.2. Aplicaciones de la Teoría de Cotrol al modelo SEIR

Dada la teoría definida anteriormente, para la investigación correspondiente, se usa las subpoblaciones del modelo SEIR, como las variables de estado. El objetivo funcional se va a centrar en minimizar tres variables: la población infectada, la tasa de vacunación y la tasa de cuarentena. Definimos el objetivo funcional, como:

\min_{v,q} J(v,q) = \min_{v,q} \int_{t_0}^{t_1} \big[I(t) + \frac{A}{2}\;v^2(t) + \frac{B}{2}\;q^2(t)\big]dt

Dicho funcional se interpreta como si se tiene una cantidad de población infectada como se disminuye al aplicar los controles de vacunación y cuarentena, dado que tienen unos costos monetarios correspondientes (A y B) para aplicar dichos tratamientos, ocupamos que se encuentren elevados al cuadrado por las condiciones iniciales del funcional que debe ser cóncavo y se minimiza dicha integral porque se quiere hallar dado dos instantes de tiempo, cual es el óptimo de vacunación y cuarentena para disminuir la cantidad de infectados.

Se realiza el análisis de las variables de control de forma separada. Cuando se quiere explorar las curvas de tasa de vacunación en profundidad, se establece a q = 0, en el modelo SEIR. Efectivamente, se está omitiendo la intervención de la cuarentena y analizando el sistema con solo la vacunación (análogamente para el estudio de la cuarentena). El modelo está configurado de manera que deja que un parámetro de control sea igual a cero, para que no altere la dinámica del resto de compartimiento.

3.3. Hamiltoniano

2

Entonces, se maximiza el Hamiltoniano con respecto al objetivo funcional o al estado asociado, se obtienen las condiciones siguientes, las cuales debe cumplir el Hamiltoniano:

3.3.1. Condición de optimalidad

\frac{\partial H}{\partial u} = 0\\    \\ f_u(t, x(t), u(t)) + \lambda(t)\;g_u(t, x(t), u(t)) = 0

3.3.2. Ecuación adjunta:
\lambda' = -\frac{\partial H}{\partial x}\\   \\ \lambda' = -\big(f_x(t,x(t),u(t)) + \lambda\;g_x(t, x(t), u(t))\big)\\
3.3.3. Condición de transversalidad:
\lambda(t_1) = 0

3.4. Teorema de Maximización de Pontryagin

Para la investigación del autor Harout Boujakjian, el Teorema de Maximización de Pontryagin fue relevante para el desarrollo de la misma, la prueba se puede encontrar en la siguiente referencia bibliográfica [4]:

3

3.5. Aplicación del Hamiltoniano al modelo SEIR

El Hamiltoniano para el problema de Control Óptimo de la investigación, cumpliando todas las condiciones preestablecidas anteriormente, se define como:

H = I(t)+\frac{A}{2}\;v^2(t)+\frac{B}{2}\;q^2(t)+ \lambda(t)\;\begin{bmatrix} S' \\ E' \\ I' \\ R' \\ \end{bmatrix}

Finalmente tenemos que:

H \equiv I(t) + \frac{A}{2}\;v^2(t) + \frac{B}{2}\;q^2(t) + \lambda_S(-\beta\;I\;\frac{S}{N}-vS)\\ + \lambda_E(\beta\;I\;\frac{S}{N}-\sigma\;E) + \lambda_I(\sigma\;E - \mu\;I - q\;I)\\ + \lambda_R(\mu\;I + v\;S + q\;I)

Usando el Hamiltoniano, se derivan las ecuaciones adjuntas. Dado que el sistema de ecuaciones difrenciales tiene cuatro ecuaciones, habrá una ecuación adjunta por cada uno de los compartimientos: S, E, I y R. La ecuación adjunta de S, está definida al establecer la derivada de tiempo de la variable adjunta igual a: -\frac{\partial H}{\partial S}, las otras adjuntas de definen de la misma forma.

Entonces se usa el Principio Máximo de Pontryagin, donde establece que el Hamiltoniano con el Control Óptimo sería mayor o igual que el Hamiltoniano con cualquier otro control fuera del conjunto de controles permitidos. Para determinar los controles óptimos, derivamos las condiciones de optimalidad mediante el ajuste \frac{\partial H}{\partial v} = 0. Solucionando para los rendimiento de v, se tiene:

v^* = \frac{\lambda_S\;S - \lambda_R\;S}{A}

Similarmente, se soluciona para q:

q^* = \frac{\lambda_I\;I - \lambda_R\;I}{B}

4. Resultados

Capture5El autor utilizó herramientas computacionales, junto con la teoría antes descrita, con cada control por separado.  La figura muestra las poblaciones resultantes para los compartimientos: Susceptibles, Expuestos, Infectados y Recuperados, respectivamente. Las líneas azules representan una estrategia de no intervención, la cual es sola la enfermedad que sigue su curso en la población. Las curvas rojas indican cada compartimiento con una estrategia de intervención óptima, que reduce la cantidad de susceptibles, expuestos e infectados en la población. Como resultado de la vacunación, la recuperación aumenta drásticamente y la cuarentena ayuda a reducir la población infectada.

Capture4

Por otra parte el segundo gráfico, son las tasas de vacunación y cuarentena en función del tiempo en dos intervalos: 100 días y 300 días. Estos intervalos de tiempo designan la cantidad de días que el control se implementa en la población. Las curvas de vacunación parecen seguir un patrón constante. A medida que aumenta el precio de la vacuna, la tasa de vacunación disminuye. La mayoría de las vacunas se administran de inmediato. Esto mueve a los individuos vacunados directamente a la subpoblación recuperada, evitando cualquier infección en absoluto. Después de implementar la vacuna durante aproximadamente 20 días, la población susceptible disminuye de manera significativa, lo que significa que no hay necesidad de vacunar tanto. Por lo tanto, la tasa de vacunación también disminuye significativamente. Esto se aplica tanto en los casos de 100 días como de 300 días. El intervalo de tiempo no parece cambiar la forma en que se implementara la intervención.

Sin embargo, la cuarentena no se adhiere al mismo patrón intuitivo. Durante 100 días, la tasa de cuarentena disminuye a medida que aumenta el precio de la cuarentena. A diferencia de las curvas de tasa de vacunación, hay una cantidad constante de intervención de cuarentena hasta el día 100.  Las curvas de cuarentena durante 300 días son más interesantes. A medida que aumenta el precio de la cuarentena, existe una relación más complicada con el costo de la cuarentena. Parece que cada precio tiene una estrategia de cuarentena óptima por separado. Para las tasas de cuarentena más caras, parecen tener una forma similar al tamaño de la población infectada. Esto puede deberse a que a medida que aumenta la población infectada, la tasa de cuarentena también aumenta para combatir las infecciones y mover a las personas al compartimiento recuperado.

5. Conclusión

Lo mencionado anteriormente tiene como finalidad recalcar la importancia de este tipo de trabajos y probar su efectividad en la realidad. Este artículo fue creado en un momento donde ni siquiera existía una vacuna para la prevención o tratamiento del Ébola. La vacuna preliminar estaba lista en el año 2015 mientras que su introducción se prevee para finales del 2018. En esto radica la importancia de la planificación y prevención cuando la teoría y el esfuerzo culminan en el cumplimiento de objetivos que mejoran la calidad de vida de seres humanos, ayudan a la preservación del ambiente, salvan especies en peligro de extinción o hasta salvar vidas humanas en peligro. Bajo la técnica de Control Óptimo y modelos como el SEIR, la matemática nos da la oportunidad de hacer una diferencia para dejar el mundo mejor a como lo encontramos.

6. Referencias Bibliográficas

[1] H. BOUJAKJIAN. Modeling the Spread of Ebola with SEIR and Optimal Control, SIAM Udergraduate Research Online, 2016.

[2] L. C. EVANS. An Introduction to Mathematical Optimal Control Theory, University of California, Berkeley, (2010).

[3] S. LENHART AND J.WORKMAN, Optimal control applied to biological models, CRC Press, 2007.

[4] H.J. SUSSMANN AND J.C. WILLEMS, 300 Years of Oprimal Control: From The Brachystochrone to the Maximum Principle, IEEE Control Systems, 1997.

La Serie Armónica

En el coloquio del profesor Mark. B Villarino se trato un tema conocido por muchos matemáticos y estudiantes de matemática más no abarcado a fondo, o no tanto como podría, él nos hablo de la serie armónica y muchas de sus curiosidades y misterios.

\sum \frac{1}{n}, la suma de los recíprocos de todos los números naturales. Esta obtiene su nombre por una terminología de los músicos que llaman armónicos los tonos que suenan por tomar la mitad, un tercio, un cuarto… etc. de la longitud de honda del tono original.
En la mayoría de los casos es la primer serie que ven todos los estudiantes de matemática cuando llegan a ver series infinitas ya que es el ejemplo inmejorable de que la condición de que dada una serie \sum a_n si su termino general (i.e. a_n) tiende a 0 no necesariamente esta converge, como podría tal vez indicarnos nuestra intuición. Esto por que mientras que es fácil ver que \frac{1}{n} \to 0 cuando n \to \infty esta serie diverge, el primero que demostró esto fue el matemático francés Nicolás Oresme quien vivió en los años 1323 – 1382 él notó que que si agrupamos los términos de esta serie de la siguiente manera:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} ....

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) +(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}) + (....

o sea en grupos desde \frac{1}{2^k +1} hasta \frac{1}{2^{k+1}} para todo k. Y cambiamos todos los términos por el menor del grupo se obtiene:

1 + \frac{k}{2} < \sum_{n=1}^{2^{k}} \frac{1}{n}

Por lo que al tomar limite cuando k va a infinito vemos que la serie harmónica diverge.
Para muchos estudiantes este es el único encuentro importante que van a tener con esta tan interesante serie lo que parecería indicar que esta no es tan importante. Sin embargo esta serie no es tan humilde como muchos podrían pensar. Esta serie tiene contacto con muchas ramas de la matemática como la teoría de números, la combinatoria y hasta cierto punto con la arquitectura y la mecánica cuántica.

Por ejemplo, si se hace la pregunta arquitectónica de, ¿Que es lo mas largo que se puede llegar dadas N placas u objetos igual poniendo uno sobre el otro de la siguiente manera?

Untitled

La respuesta podría sorprender a mas de uno, ya que resulta que para que estos se logren balancear uno encima del otro sin tumbarse y maximizando su extensión la manera de lograrlo es que tras apilar N placas, la siguiente este \frac{1}{n+1} mas salida que la anterior, o sea:

Untitled

Por lo que dadas N placas la extensión de la estructura será \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} así que de esta manera y por el hecho de que esta serie diverge como acabamos de ver esta estructura se podrá extender tanto como se quiera, simplemente, se necesitan suficientes placas.

Bueno pero tal vez antes de analizar algunas mas de estas aplicaciones de la serie armónica hay muchas propiedades interesantes que de esta como su velocidad de divergencia, para ver una primera idea de lo lento que diverge esta serie basta con verlo que en el año 1968 un matemático de apellido Wrench descubrió y es que el número de términos que ocupa esta serie para ser mayor que 100 es alrededor de

15099688699113788323693563964538101449859497

para entender un poco mejor la velocidad de convergencia se puede usar un criterio muy conocido, el criterio de la integral:

1x
\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} \hspace{1mm}< \hspace{1mm}\int_{1}^{n} \frac{1}{x}dx \hspace{1mm}< \hspace{1mm} 1 + ... + \frac{1}{n-2}

Esto también lo podemos escribir de la siguiente manera definiendo H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} tenemos:

H_n -1 < \ln (n)< H_{n} - \frac{1}{n}
\Rightarrow \frac{1}{n} < H_n - \ln(n) < 1
\Rightarrow H_n = \ln(n) + \gamma_n; \hspace{1cm} \frac{1}{n}<\gamma_n<1

Lo que nos da claramente una idea de lo lento que diverge la serie armónica con su aproximación por logaritmo. También este análisis sugiere analizar el valor de \gamma_n y en efecto esto fue lo que hizo Euler y el limite de esta diferencias es lo que hoy se conoce como la constante de Euler-Mascheroni y se representa solo con la letra \gamma.Esta aparece en otras áreas de la matemática como por ejemplo en algunas Transformadas de Laplace como:

f(t) = \ln(t) cuya transformada de Laplace es \mathcal{L} = -\frac{1}{s}[\ln(s)+\gamma].

Ahora, volviendo a la serie armónica ya vimos lo lento que diverge esta por lo que surge la pregunta, ¿Qué pasa con las subseries de esta? la idea de que converja a un ritmo tan lento haría pensar que tal vez toda subserie por ser aun mas lenta convergería y mientras que esto es verdad para algunas subseries como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \to \frac{\pi^2}{6} no lo es cierto para todas y tal vez una de las mas interesantes es \sum_{p\hspace{1mm}primo} \frac{1}{p} la cual Euler demostró que al igual que la serie armónica diverge y lo demostró de entre tantas formas con una cota inferior de las sumas parciales, y que de la misma forma que para la armónica nos indica que tan lento puede diverger una subserie de esta, la cota es la siguiente:

\sum_{\substack {p\hspace{1mm}primo \\ p\leq n}} \frac{1}{p} \hspace{1mm} \geq \hspace{1mm} \ln(\ln(n+1))-\ln(\frac{\pi^2}{6})

Por lo que la idea de que por que convergiera tan lento no nos dice que sus subseries tengan que converger ya que con ritmos aun mas desacelerados estas aun son capaces de diverger. Pero mas que una decepción la divergencia de esta serie no es mas que inspiradora ya que da una prueba mas de la cantidad de números primos ya que si estos fueran finitos esta seria una suma finita y tendría que converger. Por lo que conseguimos una aplicación inesperada de la serie armónica en la teoría de números.
Un matemático que también notó esto fue el noruego Viggo Brun quien al ver la divergencia de esta serie de los recíprocos de los primos tuvo la idea de analizar la serie

\sum_{\substack {p\hspace{1mm}primo \\ p+2 \hspace{1mm}primo}} \frac{1}{p}

Ya que si esta divergiera de la misma manera que la prueba de Euler de la infinidad de los primos, tendrían que haber infinitos primos gemelos, lastimosamente esta serie Brun logro demostrar que era convergente dejando la pregunta de la infinidad de los primos gemelos abierta por al menos 100 años mas, hasta el día de hoy.

Con todo esto ya vemos como la inocencia de esta serie no es tanta como se podría pensar al verla simplemente como un ejemplo 10 minutos en una clase y aun así esta serie tiene aun mas que ofrecernos, esta serie aparece en ramas nuevas de la matemática como lo es el análisis de algoritmos.
Dada una lista de números desordenados se desea hallar el máximo, bueno una forma de hacer esto es llamada Quick Sort en el cual se procede de la siguiente forma dada una lista:

(a_1,a_2,...,a_n) \hspace{1cm}

Se define una caja \max = [a_1] luego se compara el valor de \max con cada a_i si algún a_k>\max se re-define el valor de \max = [a_k] y se repite el proceso hasta que el valor de \max no cambie tras compararse con todos los a_i, ¿Cuál será la cantidad promedio de veces que se cambia el valor de \max?
Esta pregunta de la rama de análisis tiene una respuesta inesperada con aparición estelar. Ya que si definimos T_n como el numero promedio de cambios para hallar el máximo en una de n números la respuesta es:

T_n =(2n+1) H_{n+1}-3n-2

Donde H_n no es mas que la n-esima suma parcial de la serie armónica. Esta serie tan humilde cuya primer prueba se realizo alrededor de hace 600 años pero sigue apareciendo en resultados de los últimos 60 años, demostrando que tal vez no es tan sencilla como pensaríamos.

Mapas de Poincaré

En ocasiones se desean modelar fenómenos que tienen comportamientos periódicos a través del tiempo. Para ello utilizamos ecuaciones diferenciales periódicas, es decir, de la forma

x'(t) = f(t,x) \text{ con } f(t+T,x) = f(t,x)  \forall(t,x) \in \mathbb{R}^{2},

cuyo periodo es T>0. En general, se puede ver que f(t+nT,x) = f(t,x) con n \in \mathbb{Z}. Por ejemplo, cualquier ecuación diferencial autónoma es periódica, cuyo periodo es cualquier número positivo.

Lo que vamos a estudiar es la cantidad de soluciones periódicas que existen para este tipo de ecuaciones y un método para identificarlas. Para ello veremos algunas consideraciones iniciales.

Sea \varphi(t) una solución de esta ecuación. Una particularidad que presenta es que, si se traslada horizontalmente un múltiplo del periodo, (es decir, se evalúa en t + nT, con n \in \mathbb(Z)) la función obtenida sigue satisfaciendo la ecuación diferencial. Para mostrar esto, considere \varphi(t+nT), la traslación de la solución inicial n periodos. Entonces, aplicando la regla de la cadena, se obtiene que

\varphi'(t+nT) = f(t+nT,\varphi'(t+nT))(t+nT)' = f(t+nT,\varphi'(t+nT))  = f(t,\varphi'(t+nT))

Ahora, sea \varphi(t; t_0,x_0) una solución de la ecuación diferencial con valor inicial x_0 en t = t_0. Esta solución es periódica con periodo T si \varphi(t; t_0,x_0) = \varphi(t+T; t_0,x_0). Cuando agregamos un valor inicial, consideraremos que es global o localmente Lipschitz, para garantizar que las soluciones sean únicas. Un resultado importante es que, para distinguir los valores iniciales donde se producen las soluciones periódicas, basta con observar los valores que toma cada una de estas funciones (variando el valor que tiene la función en t_0) en el valor del periodo t=T.

Para estas soluciones, se puede verificar que la traslación $ \varphi(t+T; t_0,x_0)$ resulta de resolver la ecuación diferencial en el punto (t_0,\varphi(t+T; t_0,x_0)). Gráficamente se aprecia de la siguiente manera,

trasl

donde x_1 es el valor \varphi(t_0+T;t_0,x_0). La función en azul es la solución original trasladada un periodo. Cuando t + T =t_0, entonces t = t_0 - T, por lo que se cumple que \varphi(t_0-T+T;t_0,x_0) = \varphi(t_0;t_0,x_0) = x_0. Pero, si cambiamos la condición inicial por x_1 en t_0 y resolvemos la ecuación, se genera la misma función, ya que dos soluciones distintas de la ecuación diferencial no pueden cruzarse. Si lo hicieran, se podrían establecer dos trayectorias para la solución con el valor inicial x_0, lo que contradice la unicidad de las soluciones.

Por lo tanto, si \varphi(t_0+T; t_0,x_0) = x_0, entonces

\varphi(t+T; t_0,x_0) = \varphi(t; t_0,\varphi(t_0+T; t_0,x_0)) = \varphi(t; t_0,x_0)

lo que implica que \varphi es una función periódica. Intuitivamente, esta propiedad indica que, si movemos la solución horizontalmente la cantidad de períodos que queramos, la función toma los mismos valores (y por ende, la misma forma) en un intervalo de medida T.

Ante este panorama, nuestro análisis se simplificaría si tuviéramos un registro de los valores que toman todas las soluciones en t=T. Para ello, se construirá el mapa de Poincaré, el cual se define como el mapeo escalar \Pi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que \Pi(x_{0}) = \varphi(T,t_0,x_0). Un punto fijo de este mapa implica que \varphi(T; t_0,x_0) = x_0 y, por lo observado anteriormente, se produce una solución periódica.

Este mapeo, además, es diferenciable con respecto a x_0. La primera derivada (1) corresponde a

\dot{\Pi}(x_0) = \dfrac{d\Pi(x_0)}{dx_0} = \exp\left(\displaystyle\int_{0}^{1}f_{x}(t,\varphi(t,0,x_0)\;dt\right)

Dado que es una función exponencial, siempre es positiva, lo que indica que todo mapa de Poincaré es creciente. La segunda derivada (2) es de la forma

\dot{\dot{\Pi}}(x_0) = \dot{\Pi}(x_0)\left(\displaystyle\int_{0}^{1}f_{xx}(t,\varphi(t;0,x_0) \exp\left( \displaystyle\int_{0}^{t} f_{x}(s,\varphi(s;0,x_0)\;ds \right)\;dt \right)

Y la tercera (3) se describe como

\dot{\dot{\dot{\Pi}}}(x_0) = \dot{\Pi}(x_0)\left( \dfrac{3}{2}\left( \dfrac{\dot{\dot{\Pi}}(x_0)}{\dot{\Pi}(x_0)}\right)^{2} + \displaystyle\int_{0}^{1}f_{xxx}(t,\varphi(t;0,x_0) \exp\left(2 \displaystyle\int_{0}^{t} f_{x}(s,\varphi(s;0,x_0)\;ds \right)\;dt \right)

Para ver cómo se calculan, la prueba se ubica en [1].

De esta forma, veremos algunos ejemplos sencillos de su utilización y se culminará con una aplicación a un modelo de crecimiento poblacional. Para simplificar los cálculos, tomaremos t_0 = 0.

Ejemplo 1. Existencia de soluciones periódicas.

Consideremos la ecuación diferencial autónoma y' = y+2 con y(0) = y_0. Para cada T, se verificará si existe una solución periódica. En caso de que sea la misma para todos los periodos, lo que se encuentra es la solución constante.
La soluciones de esta ecuación son de la forma y(t) = (y_0+2)e^{t} - 2. Entonces, el mapa de Poincaré para esta función es \Pi(y_0) = (y_0+2)e^{T} - 2. Así, el mapa tiene un punto fijo si

(y_0+2)e^{T} - 2 = y_0 \implies  y_0(e^{T}-1) - 2(e^{T}-1) = 0 \implies y_0 = -2.

Por lo tanto, para cualquier T>0, existe una única solución periódica. Evaluando, tenemos que \varphi(t) = -2.

Ahora, tomemos z'= \sin(t) con z(0) = z_0. La solución corresponde a z(t) = cos(t) + z_0 - 1. Por consiguiente, todas las soluciones son periódicas de periodo 2\pi. Si construimos el mapa de Poincaré, resulta que \Pi(z_0) = z_0, por lo que todo valor es punto fijo y corrobora lo dicho anteriormente.

Por último, tomemos w' = 1 con w(0) = w_0. Todas las soluciones son de la forma w(t) = t + w_0. El mapa de Poincaré que se obtiene es \Pi(w_0) = T+w_0. Como T>0, no tiene puntos fijos y, por lo tanto, no hay soluciones constantes.

mapas_iniciales

Ejemplo 2. Ecuación logística con cosecha periódica.

La ecuación logística es una herramienta usual para modelar el crecimiento poblacional donde se establece un límite, denominado como capacidad de carga, que es determinado por la cantidad de individuos que el ecosistema puede mantener a través del tiempo. Un problema propuesto es el otorgamiento de licencias de cosecha, donde se va a establecer un comportamiento periódico anual (T=1). La ecuación por resolver es de la siguiente forma

\dfrac{dP}{dt} = RP\left(1-\dfrac{P}{L}\right) -H(1+\sin(2\pi t))

donde P es la población, R es la tasa de crecimiento intrínseco, L es la capacidad del ambiente (capacidad de carga) y H es la cantidad permitida de cosecha. Para facilitar el análisis, se reescala la ecuación tomando y = P/L, de manera que queda

\dfrac{dP}{dt} = Ry(1-y) -A(1+\sin(2\pi)) \text{ con } A = H/L

Este tipo de ecuaciones son llamadas ecuaciones periódicas de Ricatti y encontrar analíticamente sus soluciones es complicado. Como queremos hallar los valores iniciales que producen soluciones periódicas, se recurrirá al mapa de Poincaré. Sin embargo, no parece muy útil para este problema ya que se requiere las soluciones para conocer los valores que toman en T = 1. Para este caso, las propiedades de la derivada del mapa ayudarán a encontrarle una forma y poder aproximarlo con métodos numéricos.

Tomando f(t,y) = Ry(1-y) -A(1+\sin(2\pi t)), como se mencionó en (1), el mapa es una función creciente. Por la fórmula (2), como f_{yy} = -2R, la segunda derivada es negativa y la función es cóncava. Por tales motivos, el mapa puede tener 0, 1 o 2 puntos fijos, que es equivalente a que el sistema tenga, a lo sumo, dos soluciones periódicas

Por último, dado que f_{yyy} = 0, el mapa cumple que su derivada de Schwarz es 0. Como resultado, el mapa es un fraccional lineal de la forma

\Pi(y_0) = \dfrac{c_1}{y_0 + c_2} + c_3c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}

Así, teniendo el valor que toman las soluciones en T=1 para tres diferentes valores iniciales, se despejan las constantes.

Para ejemplificar, tome L = 4 y  R = 0.25, por lo que cada mapa depende de los valores que se le asignen a A. Si A = 0.025, el mapa resultante es

\Pi(y_0,0.025) \approx \dfrac{-15,9526}{y_0 + 3,50865} + 4.51696

y existen dos soluciones periódicas para los valores iniciales 0,12 y 0,89, las cuales se muestran punteadas en el siguiente gráfico.

mapas_10
Por otro lado, si A=0.075, el mapa que se obtiene es

\Pi(y_0,0.075) \approx \dfrac{-15,9708}{y_0+3,47834}+4,50181

y no existen soluciones periódicas. Inclusive, todas ellas divergen a -\infty. Esto implica que un otorgamiento indebido de permisos de cosecha puede llevar a la extinción de la población en estudio.

mapas_30 Si desea profundizar más en este modelo, se abarcan muy ampliamente en [2] y [3].

Referencias

[1] Hale, J. y Hoçak, H. (1996). Dynamics and Bifurcations, Texts in Applied Mathemathics. (Vol. 3). Nueva York: Springer-Verlag.

[2] Bernardete, D.M., Noonburg, V.W. y Pollina, B. (2008). Qualitative Tools for Studying Periodic Solutions and Bifurcations as Applied to the Periodically Harvested Logistic Equation. The American Mathematical Monthly, 115(3), 202-219. DOI: 10.1080/ 00029890.2008.11920518.

[3] Campbell, D. y Kaplan, S.R. (2000). A Bifurcation Problem in Differential Equations. Mathematics Magazine, 73(3), 194-203.

 

Computación de pares invariantes y solventes matriciales

En sistemas de ecuaciones diferenciales de orden mayor a 1, un sistema podría tener la forma

\displaystyle \sum_{i=0}^l A_i \left(\frac{d}{dt}\right)^i u(t) = 0. \ \ \ \ \ (1)

Si suponemos que buscamos soluciones de la forma {u(t) = x_0e^{\lambda_0t}}, nos da que esta ecuación se convierte en

\displaystyle \sum_{i=0}^l A_i \lambda^i u(t) = 0, \ \ \ \ \ (2)

ya que {u(t)} nunca puede ser 0, esto nos deja el problema polinomial

\displaystyle \sum_{i=0}^l A_i \lambda^i x_0 = P(\lambda_0)x_0 = 0. \ \ \ \ \ (3)

El caso que estudiaremos es el de la ecuación diferencial linear de segundo orden

\displaystyle M\frac{d^2q}{dt^2} + C\frac{dq}{dt} + Kq = f(t), \ \ \ \ \ (4)

 

que se utiliza en muchas aplicaciones de ingeniería, en particular este se puede aplicar en un problema que describe los estados de una planta nuclear. Este sistema simplifica el comportamiento de una planta nuclear con 8 grados de libertad, y tiene las matrices {M, C, K \in \mathbb{R}^{8\times8}} simétricas.

eig

Figura 1. Los autovalores de la ecuación 4

En la figura 1 podemos ver los autovalores del sistema. Como se puede ver hay un grupo en el medio, y resulta que como el grupo está cerca del eje y, estos pueden ser estables o inestables, dependiendo de que si la parte real de estos es negativa o no. Además, resulta que el problema es mal condicionado, por lo que si un valor cambia un poco, el resultado de su estabilidad puede variar de gran manera. Dado esto, vale la pena estudiarlos en grupo. Los pares invariantes nos permiten estudiar varios autovalores a la vez, estos pares representan estados estables del sistema, por lo que son de interés. Un par invariante {(X,S)} se define por la relación

\displaystyle P(X,S) = A_lXS^l + \cdots + A_1XS + A_0X = 0. \ \ \ \ \ (5)

Algo importante es que se cumple que los autovalores de {S} son autovalores de {P(\lambda)}. Una equivalencia al sistema relevante para esto es la relación

\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} P(\lambda)X(\lambda I - S)^{-1} d\lambda = 0, \ \ \ \ \ (6)

donde {\Gamma} es un contorno que contiene los autovalores de {S}, entonces así podemos aislar los puntos adentro de un contorno {\Gamma}. Teniendo esto en mente, escogemos un contorno que contiene los autovalores interesantes y calculamos la integral.

Con esta ecuación podemos encontrar los pares invariantes más fácilmente, y resulta que para el problema actual tiene un número de condición, es decir, la razón del número mayor al menor de la descomposición de valores singulares, mucho más cercano a uno, que es lo que buscábamos, ya que esto nos muestra que la aproximación que utilizamos para el sistema es mucho mejor.

Para poder usar calcular el número anterior, utilizamos el siguiente teorema.

Teorema (E. Segura, 2014). La condición de norma de un par invariante simple {(X,S)} se da por

\displaystyle \kappa(X,S) = \frac{\left|\left|[B_X B_S]^+ B_A\right|\right|_2}{\left| \left| \begin{bmatrix} X \\ S \end{bmatrix} \right| \right|_F},

con

\displaystyle B_X = \sum_{j=0}^l ([(S^j)^T \otimes A_j]),

\displaystyle B_S = \sum_j=1^{l} \sum_{i=0}^{j-1} ((S^{j-i-1})^T \otimes A_jXS^i),

y

\displaystyle B_A = [\alpha_l (XS^l)^T \otimes I_n \cdots \alpha_0X^T \otimes I_n].

 

Breve introducción a las curvas elípticas

1. Introducción

En geometría algebraica, se le conoce por el nombre de curvas elípticas a aquellas curvas que son soluciones de ecuaciones de la forma

\displaystyle y^2=x^3+Ax+B.

Se le da un nombre especial a estas curvas debido a la gran importancia que tienen en diversas áreas de la matemática, tales como la teoría de números, factorización de enteros (y por tanto criptografía), ecuaciones Diofánticas, topología y análisis. Estas curvas inclusive jugaron un rol importante en la resolución del Último Teorema de Fermat [3, 4].

2. Curvas elípticas

De manera más formal, una curva elíptica se define de la siguiente manera:

Definición 1 Dado un cuerpo {(K, +, \cdot)}, una curva elíptica sobre {K}, denotada por {E(K)}, es un conjunto

\displaystyle \{(x,y) \in K^2 : p(x,y) = 0\} \cup \{\infty\},

donde {p} es un polinomio de grado 3 con coeficientes en {K}, de tal forma que {E(K)} no tiene puntos singulares (i.e. vértices o intersecciones con sí misma) [2].

En esta definición, {\infty} denota un punto ideal, similar a los que se añaden al plano Euclideano en la geometría proyectiva [6, 5].

Si el cuerpo {K} no tiene característica 2 ni 31, existe un cambio de coordenadas bajo el cual {p(x,y)=0} se transforma en {y^2=x^3+Ax+B} (donde la restricción de no tener puntos singulares se traduce a {4A^3+27B^2 \neq 0}). A esta ecuación se le llama la forma normal de Weierstrass de la curva [2, 6]. Para cuerpos de característica 2 o 3, se usa la ecuación generalizada de Weierstrass:

\displaystyle y^2+a_1xy+a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6,

donde {a_1,\ldots,a_6} son constantes. Sin embargo, lo más usual es trabajar sobre cuerpos de característica más grande, por lo que a partir de ahora nos referiremos a las curvas elípticas siempre en su forma normal de Weierstrass.

Para un cuerpo general, es imposible hacer dibujos significativos de las curvas. Sin embargo, para ayudar a la intuición, se suele hacer dibujos de estas usando como cuerpo {\mathbb{R}}. Es importante mencionar que, intuitivamente, se considera que el punto ideal {\infty} se encuentra “al final” del eje vertical, tanto hacia arriba como hacia abajo (es el mismo punto en ambas direcciones) [6]. Más aun, {\infty} pertenece de la misma manera a cada recta vertical. Más adelante se hará evidente la utilidad de esto.

Para la siguiente sección, va a ser útil tener en mente el siguiente lema, donde no se toma en cuenta el punto {\infty}:

Lema 2 Si {K} es un cuerpo algebraicamente cerrado, una recta de la forma {x=c}, con {c} constante, corta a una curva elíptica {E(K)} en 2 puntos; y cualquier otra recta corta a {E(K)} en tres puntos [2].

3. La operación de grupo

El aspecto más interesante de las curvas elípticas es que naturalmente forman grupos. En seguida explicamos cómo se define la operación que le da estructura de grupo a una curva elíptica, haciendo uso de un ejemplo tomado de [4]:

Considere la curva elíptica sobre {K = \mathbb{R}} que se muestra en la figura 1 dada por

\displaystyle E: y^2 = x^3-5x+8.

Curva1Figura 1: Curva elíptica {E: y^2=x^3-5x+8}.

Tome dos puntos {P} y {Q} sobre la curva, como en la figura 2, y trace la recta {L} determinada por estos dos puntos. Suponga que {L} interseca {E(K)} en un tercer punto {R}.

Curva2Figura 2: Operación de grupo definida sobre una curva elíptica.

Trace la recta vertical que pasa por {R}. Esta interseca la curva en otro punto. Este último punto será la definición de {P \oplus Q}, el resultado de aplicar la operación de grupo a los puntos {P} y {Q} de {E(K)}. Para mayor simplicidad, se suele denotar {P + Q}.

Es evidente que esta definición está aun incompleta. ¿Cómo se suma un punto consigo mismo? ¿Qué pasa si {P} y {Q} se encuentran en una recta vertical?

Para sumar un punto {P} consigo mismo, se toma la recta {L} de la definición anterior como la recta tangente a la curva en {P} (ver figura 3).

Curva3Figura 3: Caso especial en la definición de la operación de grupo: la recta formada por {P} y {Q} es vertical.

En el caso de que {P} y {Q} formen una recta vertical, se toma {P + Q := \infty}. Esto completa la definición de la operación de grupo.

Considere {P} un punto cualquiera en una curva elíptica {E(K)}, y {Q = \infty}. ¿Cuál es el resultado de {P + \infty}? Siguiendo la definición anterior, la recta {L} que pasa por {P} e {\infty} sería la recta vertical que pasa por {P}. El tercer punto en la curva sería entonces el reflejo de {P} respecto al eje horizontal. Al reflejar este punto, obtenemos nuevamente {P}. Por tanto, tenemos:

\displaystyle P + \infty = P.

Es decir, {\infty} es el elemento neutro de nuestro grupo.

Asimismo, si {Q} es el reflejo de {P}, por definición tenemos {P + Q = \infty}. Por lo tanto, {Q} es el inverso aditivo de {P}, i.e. {Q = -P} [6].

Para terminar de comprobar que una curva elíptica forma un grupo con esta operación, haría falta ver la asociatividad de la misma. Esto, sin embargo, se hace a través de un largo cómputo, por lo que lo excluimos de este artículo por el momento.

4. Conclusión

Los párrafos anteriores buscan ser tan solo una pequeña introducción a la teoría de las curvas elípticas. Como se mencionó anteriormente, existe una cantidad vasta de aplicaciones de este tipo de curvas. En años recientes, su relevancia se ha visto aumentada, debido especialmente a la existencia de un algoritmo para la factorización rápida de enteros, lo cual tiene aplicaciones en el campo de la criptografía (por ejemplo, el algoritmo RSA se podría ver violado por un algoritmo capaz de factorizar enteros demasiado rápido). Asimismo, otros campos se benefician de esta teoría, por ejemplo, el álgebra cuántica no conmutativa [4] o el problema del amontonamiento de esferas [6]. Se insta al lector interesado a revisar la bibliografía adjunta.

Notas

1. La característica de un anillo con identidad es el menor número de veces que se debe sumar la identidad multiplicativa (1) para obtener la identidad aditiva (0) [1].

Bibliografía

[1] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc., USA, 3 ed.,
2004.
[2] D. Herrera-Tobar, Curvas elípticas, 2012.
[3] D. Rusin, 14h52: Elliptic curves. The Mathematical Atlas, 2000.
[4] J. H. Silverman, An introduction to the theory of elliptic curves. Brown University and
NTRU Cryptosystems, Inc., 2006.
[5] J. C. Várilly, Elementos de Geometría Plana, Editorial UCR, San José, Costa Rica, 2 ed.,
2014.
[6] L. C. Washington, Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography, Chapman &
Hall/CRC, Boca Raton, FL, USA, 2 ed., 2008.

Introducción a la tomografía fotoacústica

La Tomografía Fotoacústica (PAT – por sus siglas en inglés) es una modalidad de imagen médica que combina las ondas ópticas con las ondas acústicas para obtener imágenes del interior de un cuerpo. En los últimos años se ha explorado la idea de combinar distintas ondas para obtener las mejores características diagnósticas de cada onda. En términos generales, las imágenes que se obtienen de usar solamente ondas ópticas están caracterizadas por tener un alto contraste pero una baja resolución, mientras que las que se obtienen de ondas acústicas se caracterizan por una alta resolución pero un bajo contraste. La idea de estas modalidades es hacer un acoplamiento físico de las ondas para obtener las mejores propiedades de cada una. A estas modalidades se le conocen como métodos de ondas múltiples o acopladas en la comunidad de biomedicina y como problemas inversos híbridos o acoplados en la comunidad matemática. PAT es uno de estos métodos que ha despertado el interés de distintas comunidades por sus potenciales aplicaciones, bajo costo y complejidad matemática. En este video el profesor Lihong Wang de la Universidad de Washington St. Louis habla de aplicaciones de PAT.

Cuando cortos pulsos de ondas electromagnéticas se usan para irradiar un tejido biológico, el efecto fotoacústico/termoacústico resulta en la emisión de señales acústicas (“el sonido de la luz”). En este video se ilustra el efecto termoacústico. Estas ondas acústicas se miden en el exterior del objeto por medio de transductores ultrasónicos de banda ancha y esta información se utiliza para obtener el coeficiente de difusión del tejido. El proceso se ilustra en la siguiente Figura 1.

pat
Fig. 1. Proceso de acoplamiento de ondas en tomografía acústica

Dicho en otras palabras, el objetivo principal de la PAT es obtener información del coeficiente de absorción electromagnético del tejido utilizando las mediciones acústicas producidas por el efecto fotoacústico. La información del coeficiente de absorción está relacionado con la estructura molecular del tejido y una buena reconstrucción de este puede revelar condiciones patológicas que facilite el diagnóstico de enfermedades (e.g., cancer de piel o de mama). A continuación presentamos una descripción matemática de PAT, brevemente mencionando las razones físicas detrás de esta modalidad.

El proceso de PAT se divide en dos partes. La primera consiste en utilizar las mediciones acústicas para recuperar información interna de la radiación absorbida por el tejido. Este proceso se modela como la reconstrucción de la condición inicial en la ecuación de onda utilizando información lateral. Sea {\Omega} un dominio acotado con frontera suave y suponga que {\Omega} se puede extender infinitamente sin perturbar las mediciones, entonces la presión acústica {p} satisface la ecuación de onda,

\displaystyle \begin{array}{rclr} \frac{1}{c^2(x)} \partial_t^2p - \Delta p &= &0, & (t,x)\in(0,\infty)\times {\mathbb R},\\ p(0,x) &=& H(x), & x\in {\mathbb R},\\ \partial_tp(0,x) &=& 0, & x\in {\mathbb R}, \end{array} \ \ \ \ \ (1)

donde {c(x)\in C_c^\infty(\Omega)} es la velocidad de la onda y {H(x)\in H_0^1(\Omega)} es la señal ultrasónica generada tiempo {t=0}. Entonces el primer paso consiste en recuperar

\displaystyle (H,c) \quad \mbox{usando} \quad p(t,x)|_{(0, T)\times \partial \Omega} \ \ \ \ \ (2)

para algún tiempo finito {T >0}.
Note que el efecto de la propagación de radiación está modelado como una condición inicial a tiempo {t=0}. La justificación detrás es la gran diferencia entre las velocidad de la luz (aprox. {2.3\times 10^8 m/s}) y la del sonido (aprox. {1.5 \times 10^3 m/s}), desde el punto de vista de la onda acústica toda la radiación electromagnética sucede a tiempo cero. Esta suposición es robusta pues en el caso de PAT los fotones están cerca del espectro infrarrojo con longitudes de onda entre {600nm} y {900nm}. Finalmente, como la dependencia de {H} de las mediciones {p(t,x)|_{(0, T)\times \partial \Omega}} es lineal, decimos que la recuperación de {H} es un problema inverso lineal (en contraste, recuperar {c} es un problema inverso no lineal).

El segundo paso en PAT se conoce como Tomografía Fotoacústica Cualitativa (qPAT-por sus siglas en inglés) y el objetivo principal es obtener propiedades electromagnéticas del tejido por medio de la medición interna {H} obtenida en el primer paso y la iluminación inicial. La radiación electromagnética se modela típicamente por medio de la ecuación de difusión o por la ecuación de transporte. Aquí usaremos la formulación difusiva que modela la densidad espacial del photon {u} por medio de la ecuación elíptica con condición de frontera de Dirichlet dada por,

\displaystyle \begin{array}{rcr} -\nabla\cdot \gamma(x) \nabla u + \sigma(x)u = 0 & \mbox{en}& \Omega,\\ u=f & \mbox{sobre} & \partial \Omega, \end{array}, \ \ \ \ \ (3)

donde {\gamma(x)} es el coeficiente de difusión y {\sigma(x)} el coeficiente de absorción que asumimos son funciones con valores complejos y tales que {0<\epsilon < \gamma, \sigma < \frac{1}{\epsilon}} para {\epsilon>0}. En la ecuación (3), {f(x)} es la iluminación inicial usada para probar el tejido biológico y {H} es el coeficiente interno obtenido en el primer paso y es igual a

\displaystyle H(x) = \Gamma(x)\sigma(x)u(x) \quad x \in \Omega, \ \ \ \ \ (4)

donde {\Gamma(x)} es el parámetro de Güneisen (que modela la fuerza del efecto fotoacústico). De esta manera el objetivo de qPAT es reconstruir

\displaystyle (\gamma, \sigma, \Gamma) \quad \mbox{utilizando} \quad (H,f).

En resumen, por medio de estos dos pasos convertimos la información acústica {p(t,x)|_{(0, T)\times \partial \Omega}} en información del coeficiente de absorción {\sigma}. Para mayor información de la matemáticas de PAT se pueden consultar los siguientes artículos resumen

  • Multi-wave methods via ultrasound, P. Stefanov y G. Uhlmann, Inside Out II, MSRI publications, Cambridge University Press, 2012
  • Mathematical Methods in Photoacoustic imaging, O. Scherzer y P. Kuchment, Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics, Springer Verlag 2015.
  • Hybrid inverse problems and internal functionals G. Bal y G. Uhlmann, Inside Out II, MSRI Publications, Cambridge University Press, 2012

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